6.1. Общие сведения

6.1.1. Математическая модель задачи оптимизации

Задача оптимизации обычно сводится к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией (или функцией цели):

Z = Z (х₁, х₂, х₃,….х_n). (6.1)

В качестве целевой функции могут быть приняты, например: минимальный вес конструкции, максимальный объем выпуска продукции, минимальная стоимость перевозок груза; максимальная прибыль и т.д.

Параметры х₁, х₂, х₃,….х_n, – переменные величины, которые могут изменяться непрерывно или дискретно и должны однозначно определять целевую функцию. Они называются проектными (управляемыми) параметрами.

Количество n параметров х_i (i=1,2,…n), определяет размерность (сложность) задачи.

Область определения функции цели (6.1) называется пространством проектирования. Это пространство обычно не столь велико, как может показаться вначале.

В практических задачах это пространство ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Это могут быть законы природы, механики, экономики, права, наличие необходимых материалов и ресурсов и т.п.

Управление строительством, техническое проектирование всегда ведутся в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов. В результате этих ограничений область проектированя, как правило, уменьшается.

Выражения, описывающие эти условия, называются ограничениями задачи. Число ограничений может быть произвольным. Они делятся на две группы:

– ограничения-равенства:

h_i (х₁, х₂, х₃,….х_n)=0 (i=1,2,…k), (6.2)

– и ограничения-неравенства:

g_j (х₁, х₂, х₃,….х_n)  или  0 (j=1,2,…l). (6.3)

Множество значений параметров при которых выполняются ограничения (6.2)-(6.3), называется областью допустимых решений. Будем обозначать это множество .

Допустимое решение , дающее экстремум функции цели (6.1), называется оптимальным решением.

Оптимальное решение (если оно вообще существует) не обязательно единственно. Возможны случаи, когда имеется бесчисленное множество решений.

Считается, что математическая модель задачи оптимизации (математического программирования) построена, если определены проектные параметры, построена целевая функция (6.1) и записаны ограничения задачи (6.2) – (6.3).

Решение задачи оптимизации состоит в нахождении значений управляемых параметров , удовлетворяющих заданным ограничениям и обращающими в максимум или минимум целевую функцию.

С геометрической точки зрения целевая функция

Z = Z( ) определяет некоторую (n+1)-мерную поверхность (гиперповерхность) на n-мерном евклидовом пространстве E_n, называемом пространством проектирования. Ограничения задачи определяют пространство допустимых решений. Здесь n – число независимых управляемых параметров.

Например, при n=1 пространством проектирования является отрезок, а функции цели соответствует кривая на плоскости (рис.6.1,а).

При n=2 целевая функция изображается поверхностью в трехмерном пространстве, а пространство проектирования – областью на плоскости (рис.6.1,б).

При n3 – это некоторая гиперповерхность, которую невозможно изобразить обычным способом.

Рис.6.1. Геометрическое представление целевой функции и ограничений

Причем, поиск максимума целевой функции Zmax всегда можно заменить на поиск минимума этой же функции, но взятой с обратным знаком – Zmax, что продемон-стрировано на (рис.6.2).

Рис.6.2. Максимум и минимум функции

В самом общем виде решение задачи оптимизации состоит в нахождении значений проектных параметров , удовлетворяющих заданным ограниче-ниям и обращающим в максимум или минимум целевую функцию Z.

Доказывается, что если целевая функция непрерывна, а множество допустимых решений замкнуто, не пусто и ограниченное, то решение задачи (6.1) – (6.3) существует.