1.3. Действия над матрицами

Действия над матрицами определяются с помощью действий над их элементами.

1) Сумма (разность) двух матриц одинакового типа АВ есть матрица С того же типа:

2) Произведение матрицы на число  есть матрица, элементы которой получены умножением всех элементов на число :

3) Произведением матрицы размера [mn] на матрицу размера [nr] называется матрица размера [mr], элементы которой вычисляются по формуле:

То есть, чтобы получить элемент надо вектор из элементов i-ой строки матрицы А скалярно умножить на вектор из элементов j-го столбца матрицы В.

Произведение А∙В двух матриц в указанном порядке возможно в том и только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

4) Произведение матрицы А на вектор – частный случай произведения матрицы на матрицу, когда второй сомножитель является матрицей-столбцом (или вектором), причем количество элементов вектора должно быть обязательно равно количеству столбцов матрицы А. Результатом перемножения является вектор где

Действия над матрицами подчиняются следующим законам:

1. А+В = В+А;

2. А+(В+С) = (А+В)+С;

3. (А+В)= А+В;

4. (А)=( )А;

5. A(BC) = (AB)C;

6. (А+В)С = АС + ВС;

7. С(А+В) = СА + СВ ;

8. (АВ) = (А)В=А(В).

Основной особенностью матричного исчисления является некоммутативность произведения матриц:

АВ  ВА,

т.е. произведение двух матриц не обладает свойством переместительности и из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Покажем это на примере.

• Пример 1.1. Вычислить произведение двух матриц А и В.

для данного случая не существует.

1.4. Нормы матрицы и вектора

Норма – это одна из важнейших скалярных характеристик векторов и матриц. Существуют различные способы определения нормы матрицы и вектора соответственно. В дальнейшем для анализа решений нам потребуется умение вычислять эти нормы.

Матрица может быть определена тремя нормами:

норма 1– максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам:

норма 2 – максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам:

норма 3 – корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы:

• Пример 1.2. Для матрицы А вычислить все три нормы

Решение:

= max (3+2+4, 5+2+6, 0+7+1) = max (9, 13, 8) =13;

= max (3+5+0, 2+2+7, 4+6+1) = max (8, 11, 11) = 11;

Для вектора эти нормы вычисляются:

– максимальная по модулю координата вектора,

– сумма модулей координат вектора,

– корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

1.5. Функции ms Excel для операций над матрицами

Для выполнения операций с матрицами удобно использовать матричные функции MS Excel.

Категория: математические. Функции:

МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) – возвращает произведение матриц.

МОБР(<матрица>) – возвращает матрицу, обратную к данной.

МОПРЕД(<матрица>) – вычисляет определитель исходной квадратной матрицы.

Категория: ссылки и массивы. Функция:

ТРАНСП(<матрица>) – транспонирует исходную прямоугольную матрицу, поворачивая ее относительно главной диагонали.

При выполнении операции следует:

• Выделить блок, где будет размещен результат матричной операции.

• В мастере функций выбрать нужную категорию и нужную функцию.

• C помощью кнопки выделить исходную матрицу (бегущая пунктирная линия).

• Одновременно нажать клавиши Shift+Ctrl+Enter.