Глава 1 Основные понятия матричного исчисления

Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.

Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, напомним основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.

1.1. Матрицы и векторы.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (размерность m  n), Обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной

Если m = 1, это матрица-строка (вектор-строка);

Две матрицы и равны друг другу, если они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [mn]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: для всех i и j.

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его следующим образом :

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов стоящих на главной диагонали, называется диагональной:

A

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:

E

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается А^т).

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам - определитель (det A). Например, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду приведен во второй главе.

Если определитель матрицы det A=0 , то матрица называется вырожденной, и невырожденной в противном случае.

Эквивалентны следующие высказывания: матрица А является невырожденной, если:

• столбцы (строки) матрицы А линейно независимы;

• равенство , означает, что ;

Обратная матрица. Доказывается теорема, что если матрица А невырожденная (det A ≠ 0), то она имеет обратную матрицу (обозначается А^-1).

Матрица называется обратной по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

А А^-1= А^-1 А =Е (1.6)

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.

1.2. Матрицы специального вида

При использовании численных методов для решения задач строительства приходится сталкиваться с матрицами, специальная форма которых позволяет облегчить процесс вычисления. Рассмотрим некоторые из них.

Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы a_ij такой матрицы обычно вычисляются по заданным формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины. Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ленточная матрица – это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Такие матрицы встречаются при решении краевых задач методом конечных разностей или вариационными методами – Ритца, конечных элементов.

Структуру ленточной матрицы можно представить в виде:

Ширина ленты

A

Трехдиагональная матрица – частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 3 (или

каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента).

Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил способом упругих грузов.

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы симметричны относительно главной диагонали, ( ). Многие физические задачи равновесия, строительной механики приводят к симметричным матрицам.

Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы при всех i и j, кроме i= j.

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.

Треугольные матрицы встречаются при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. И интересны тем, что решение СЛАУ сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных.

( для i >j)		( для i< j)
	Верхняя треугольная матрица		Нижняя треугольная матрица

При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.

Элементарные преобразования матриц. В курсе алгебры доказывается теорема, что всякую невырожденную матрицу (det A0) можно привести к матрице треугольного вида, эквивалентной исходной, с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Элементарными называются следующие преобразова-ния:

• Перестановка двух строк (столбцов) местами.

• Умножение строк (столбцов) на одно и то же число.

• Прибавление к элементам какой либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Если det A0, т.е матрица невырожденная, то и ей эквивалентная матрица тоже является невырожденной.