Погрешности вычислений

На некоторых этапах вычислительного эксперимента могут возникнуть погрешности, искажающие результаты вычислений. Поэтому оценка степени достоверности получаемых результатов в процессе вычислительных работ является важным вопросом.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах решения задачи [6, 9, 12].

Погрешность задачи, обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.

Исходные данные задачи чаще всего являются основным источником погрешностей. Для вычислителя это неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 5–10%. А так же в процессе предварительных расчетов, где надо учитывать погрешности округления.

Погрешность метода или погрешность дискретизации, возникающая при замене исходной задачи – дискретной.

Погрешность численного метода связана с тем, что точные операторы заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная – разностью, функция – многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

Погрешность метода надо выбирать так, чтобы она была в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Большая погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна, т.к. приводит к необоснованному увеличению объемов вычислений. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность.

Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

Погрешность округлений возникает при вычислениях с помощью ЭВМ, что связано с ограниченностью разрядной сетки.

Понятия точности, устойчивости и сходимости при численном решении

При выборе численного метода необходимо оценить такие его характеристики, такие как точность, устойчивость и сходимость.

Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость. При решении инженерных задач неизбежно появляются погрешности исходных данных (входных параметров). Поэтому возникает вопрос о том, насколько чувствительными могут оказаться сами задачи и их решения к таким погрешностям.

Т.е. вопрос об устойчивости решения - это вопрос о том, как зависит решение задачи от входных параметров.

Если решение существует и единственно, то возможны два варианта.

1. Решение задачи непрерывно зависит от входных параметров, т.е. малым изменениям входных параметров (возмущениям) соответствует малое изменение решения задачи. Такое решение называется устойчивым, а сама задача – корректной.

2. Если же небольшие возмущения исходных данных приводят к большим изменениям решения, то это решение называется неустойчивым, а сама задача – некорректной.

Корректность. Задача называется поставленной корректной, если решение существует, единственно и устойчиво относительно исходных данных из некоторого класса ее решений. [8, 12].

Применять ЧМ для решения некорректно поставленных задач нецелесообразно, поскольку погрешности округления, возникающие в расчетах, будут быстро возрастать по ходу вычислений, что приведет к существенным искажениям результатов.

Сходимость – это постепенное приближение последовательно вычисляемых приближенных решений к предельному (точному) решению.

Термин сходимости применяется к построению итерационной последовательности, в которой одно приближенное решение (итерация) становится исходной информацией для следующего приближенного решения.

Таким образом, в сходящемся процессе разница между соседними приближениями (итерациями) уменьшается, стремясь в пределе к нулю.

Итак, чтобы получить решение задачи с необходимой точностью, ее постановка должна быть корректной, а применяемый ЧМ должен обладать устойчивостью и сходимостью.