4. Примеры задач линейного программирования в сфере проектирования и управления строительным производством

Имеется много данных об успешном использовании моделей ЛП в различных задачах управления и проектирования в строительстве. Рассмотрим некоторые схемы таких задач.

6.4.1. Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов (труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п.). Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения.

Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов, то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида следует производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации (например, получить максимальную прибыль или минимизировать затраты производства).

Постановка задачи. Предприятие выпускает n видов продукции, на которую употребляет m видов сырья. Расход i-го вида сырья на единицу j-го вида продукции составляет aij единиц. Известно, что на каждой единице продукции j-го вида предприятие получает прибыль cj Требуется определить, сколько единиц каждого вида продукции должно изготовить предприятие (оптимальный план выпуска продукции), чтобы обеспечить максимальную прибыль. При этом следует учесть, что запасов сырья каждого ( i-го) вида имеется bi .

В качестве проектных (управляемых) параметров в данной задаче можно принять объемы выпуска соответствующего вида продукции: . Иначе говоря, x_i , i=1,2,…,n - количество единиц каждого i-го вида продукции, которое должно изготовить предприятие.

Математической моделью этой задачи служит следующая задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (линейной формы):

при выполнении ограничений

Решение такой задачи позволит руководителю определить оптимальные объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в данных условиях нецелесообразно, а возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры.

• Пример 6.6. Построить математическую модель задачи планирования производства.

Цех производит два вида продукции (продукт1 и продукт2) стоимостью соответственно 5 у.е. и 5,5 у.е. (усл. единиц). На производстве действуют ограничения по ресурсам: сырье; трудовые затраты; транспортные расходы (аренда машины для вывоза продукции). Расход каждого ресурса на изготовление того и другого продукта, количество ресурса в распоряжении цеха приведены в таблице.

Используемые ресурсы	Расход ресурсов на изготовление		Количество ресурса в распоряжении цеха
	продукта1	продукта2
Сырье Трудовые затраты Транспортные расходы	3 6 2	6 4 1	18 24 не менее 2
Стоимость продукта	5 у.е.	5,5 у.е.

Рассчитать, какое количество каждого продукта нужно изготовить, чтобы прибыль была максимальной.

В качестве проектных параметров x₁, x₂ выберем оптимальные объемы производства обоих продуктов.

Тогда целевая функция запишется в виде

Z_max = 5 x₁+ 5,5 x₂. (6.20)

Ограничения записываем из условия ресурсов, которыми располагает цех.

(6.21)

Решение задачи с использованием электронных таблиц Excel приведено в подразделе 6.5.