6.1.2. Классификация задач математического программирования
Общие методы нахождения экстремума целевой функции при наличии ограничений рассматриваются в разделе прикладной математики, который называется математическим программированием
Методами математического программирования решаются задачи распределения ресурсов, планирования выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.п.
Математическое программирование возникло в 30-е годы ХХ века. Венгерский математик Б. Эгервари в 1931 году решил задачу, называемую проблемой выбора. Американский ученый Г.У. Кун обобщил этот метод, после чего он стал называться «венгерским методом». В 1947 году американский ученый Дж. Данциг описал один из основных методов решения задач линейного программирования, получивший название «симплексный».
Выбор метода решения задачи оптимизации зависит от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи.
В зависимости от вида целевой функции и структуры ограничений в математическом программировании выделяют следующие основные разделы (рис.6.4):
Если целевая функция (6.1) и система ограничений (6.2)-(6.3) линейны относительно проектных параметров, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЛП). Если нелинейны – нелинейного программирования. Если ставится дополнительное условие, чтобы переменные были целочисленны – задача целочисленного программми-рования и т.п.
Методы решения задач математического программирования имеют свою специфику в отличие от методов классического анализа отыскания экстремумов функций, так как даже в наиболее простых задачах (линейное программирование) экстремум достигается в угловых точках границы области допустимых решений, т.е. там, где нарушается дифференцируемость функций.
При этом в практических задачах число переменных и ограничений обычно столь велико, что если просто перебирать все точки, "подозреваемые" на экстремум, то вряд ли даже ЭВМ справится с такой задачей.
6.2. Постановка задачи оптимального проектирования
Под проектированием мы будем понимать процессы создания не только архитектурно-строительных объектов или конструкций, но и процессов управления предприятием (фирмой) в сфере организационно-хозяйственной или экономической деятельности, процессы создания новых композиционных материалов и т.п.
Постановка задачи оптимального проектирования ведется с учетом назначения реальных целей проектирования и конкретных условий реализации проекта.
Процесс проектирования имеет целью получение оптимального объекта, имеющего возможно наилучшие свойства. Например такие как минимальный вес, минимальную стоимость, максимальные прочностные характеристики, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль, минимум капиталовложений и т.п.
Постановка задачи оптимального проектирования носит неформальный характер и включает следующие этапы:
определение входных (управляемых) параметров;
определение выходных параметров (переменных, определяющих состояния изучаемого объекта);
выбор целевой функции;
назначение ограничений.
Входными (управляемыми) параметрами задачи называются величины х1, х2,…хn, которые полностью характеризуют изучаемый процесс. Их обычно записывают в виде вектора .
Качество
функционирования любой системы
характеризуется множеством выходных
параметров
.
или критериев
эффективности [8].
Переменныe
–
это параметры
оптимизации (или функции отклика, или
целевые функции).
Это зависимые переменныe.
Параметр оптимизации – это реакция (отклик) на воздействие входных параметров, которые определяют поведение изучаемого объекта.
Чаще всего требуется установить зависимость между проектными параметрами и одним из выходных параметров, наиболее важным.
Параметр оптимизации может быть измерен количественно или представляет собой качественную сторону объекта. Поэтому все выходные параметры обычно делятся соответственно на количественные и качественные.
Качественные критерии могут принимать только два значения: 1 или 0. Это может быть, например, разрушение или неразрушение сооружения, прием или неприем на работу какого-то сотрудника и т.д. В таких случаях обычно используют вероятностный подход. В дальнейшем будем рассматривать только количественные параметры.
Целевая функция (6.1) количественно выражает качество объекта, и потому ее иногда называют также функцией качества или критерием оптимальности. Общая задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
Назначение ограничений. Ограничения объективно появляются при проектировании технических объектов и объектов управления и вытекают из конкретной физической и технологической сущности задачи, например, ограниченности ресурсов и т.п.
Ограничения представляют собой математическое описание требований, обеспечивающих функционирование проектируемого объекта. Ограничения подразделяются на:
экономические, включающие в себя ограничения ресурсов, требования к сбыту, торговле, организационной системе;
прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом, отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, устойчивости, долговечности; условия равновесия, совместности деформаций, формула Мора для определения прогиба и т.п.;
конструктивно-технологические, описывающие специальные конструктивные или технологические требования;
механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и элементов конструкции, внешние усилия, инерционные силы, массу конструкции и т.п.).
Ограничения могут иметь вид: равенств (6.2) и (или) неравенств (6.3).