5.3.4. Коэффициент корреляции

Всегда ли существует функциональная зависимость между экспериментальными данными, заданными, например, таблицей 5.1.

Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений x, y можно с помощью коэффициента корреляции:

где

Если зависимость между значениями x, y линейная (y=ax+b), то:

для а > 0 -1< R_xy < 0,

для а < 0 0 < R_xy < 1

При R_xy =0 cвязь отсутствует.

Принято считать:

• R_xy  0.3 – наблюдается слабая линейная связь,

• R_xy = 0.3 – 0.7 – средняя,

• R_xy  0.7 –сильная,

• R_xy = 1 – линейная зависимость, все точки лежат на одной прямой.

5.3.5. Квадратичное (параболическое) приближение

Чаще всего линейная аппроксимация является достаточно грубым приближением. При решении задач строительства возникает необходимость использования более сложной аппроксимирующей функции.

Ограничимся случаем m=2. Уравнение регрессии 2-го порядка в этом случае называется квадратичным (или параболическим) и имеет вид

y=(x,a,b,c)=a+bx+cx² . (5.21)

Неизвестные параметры a, b, c согласно МНК находим из условия минимизации функции S(a,b,c), суммы квадратов отклонений:

После дифференцирования и соответствующих преобразований получим нормальную систему для определения неизвестных параметров a, b, c.

Решая систему (5.23), получим уравнение регрессии 2-го порядка, степень точности такого приближения для исследуемого процесса оценивается по величине среднеквадратичного отклонения (5.19).

Если точность этого приближения не устраивает, повышают степень аппроксимирующей функции m (но надо помнить, что m<n–1).

5.3.6. Эмпирические формулы с двумя параметрами (метод выравнивания)

Для описания некоторых технологических процессов удобно использовать эмпирические формулы, содержащие два параметра:

y=(x, a, b). (5.24)

Например: y=a x^b , y=a+b/x , y=x/(a+bx), y=a bx и т.д.

Пусть заранее известно, что экспериментальные точки M(x_i,y_i), i=1,…n, заданные табл. 5.1 не лежат на одной прямой. Для нахождения параметров a, b используется метод выравнивания.

Идея метода. Вводятся новые переменные (новая система координат X^*OY^*):

так, чтобы преобразованные точки M^*(x_i^*, y_i^*), i=1,…n, в плоскости X^*OY^* могли быть аппроксимированы линейной зависимостью

y^*=A+Bx^*. (5.26)

Здесь (i=1,2,…,n) (рис.5.4).

Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов (см. пункт 5.3.3).

Рис.5.4. Схема метода выравнивания

• Пример 5.2. Пусть заранее известно, что экспериментальные точки M(x_i, y_i), i=1,2,…n, заданы в виде табл.5.1 и не лежат на одной прямой. А эмпирическая формула имеет вид:

y=a x^b (5.27)

Для определения новой системы координат прологарифмируем выражение (5.27)

ln y=ln a + b ln x

и введем новые переменные:

y^* = ln y; x^* =ln x.

Обозначив A=lna; B=b, получим линейную эмпирическую формулу в новой системе координат X^*OY^* :

y^*=A+Bx^*

Неизвестные параметры А, В находим, используя МНК, и по аналогии с (5.17) строим нормальную систему

Переходя к старым переменным, получим систему уравнений для определения параметров a, b.

Решив эту систему относительно a, b (например, методом Крамара) и подставив их значения в выражение (5.27), получим нужную эмпирическую формулу. Насколько она хороша, можно оценить приведенным выше способом.