Алгоритм метода половинного шага.

Циклически повторяется следующая последователь-ность действий:

1. Разбиваем отрезок интегрирования [a, b] на n равных отрезков с шагом h=(b-a)/n.

2. Строим интегральную сумму по формуле (4.3).

3. Повторяем эти вычисления (пункты 1, 2) для шага h/2, т.е. для 2n. Строим интегральную сумму .

4. Если два соседних приближения (две итерации) близки, т.е.

то за приближенное значение интеграла (4.1) с точностью  принимаем интегральную сумму :

5. Если условие (4.6) не выполняется, то надо вернуться на пункт 3, т.е. еще раз уменьшить шаг вдвое. Итерационный процесс продолжим до тех пор, пока условие (4.6) не будет выполнено.

Рассмотрим несколько методов численного интегрирования.

4.1. Квадратурные формулы прямоугольников

Отрезок интегрирования [a, b] разбиваем на n равных отрезков и получаем множество (n+1) равноудаленных узлов (равномерную сетку Ω_n):

Ω_n={x₀=a, x_i+1 = x_i +h, i= (0, 1,..,n-1), x_n = b, h=(b-a)/n },

где h шаг разбивки.

Введем обозначение: у_i =f(x_i), i=(0, 1, .,n).

Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой f(_i), где _i  [x_i, x_i+1] , i=0, 1, 2,…..,n-1 (рис.4.3).

ξ_i

Рис.4.3. Схема метода прямоугольников

В зависимости от выбора _i существует несколько формул прямоугольников.

Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда _i=x_i :

Формула «правых» (выходящих) прямоугольников, когда _i=x_i+1.

Формула «средних» прямоугольников, когда _i =x_i +h/2:

• Пример 4.1. С помощью формул левых и правых прямо-угольников вычислить интеграл

Решение. Зная пределы интегрирования а=1, b=9, находим шаг h=(b-a)/n=2;

Тогда точками разбиения (узлами) служат х₀=1, х₁=3, х₂=5, х₃=7, х₄=9, а значения подынтегральной функции в этих узлах равны соответственно:

x	1	3	5	7	9
y=f(x)

Найдем численное значение интеграла, пользуясь формулой левых прямоугольников:

Вычислим интеграл по формуле правых прямоугольников:

что достаточно близко совпадает со значением интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница:

4.2. Квадратурная формула трапеций

Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью линейной трапеции с основаниями y_i= f(x_i) и y_i+1= f(x_i+1) и высотой h ( i=0, 1, 2,…..,n-1) (рис.4.4).

Рис.4.4. Схема метода трапеций.

Формула трапеций имеет вид

или

• Пример 4.2. С помощью формулы трапеций вычислить интеграл примера 4.1.

Решение. Здесь . Шаг h =2. Точки разбиения (узлы): х₀= 1, х₁= 3, х₂= 5, х₃= 7, х₄= 9. Тогда по формуле (4.12) получим

что практически совпадает со значением интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница:

4.3. Квадратурная формула Симпсона

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию y =f(x) на отрезке [x_i-1 ,x_i+1] длиной 2h заменить квадратичной функцией проходящей через три точки A(x_i-1 ,y_i-1), B(x_i ,y_i), C(x_i+1,y_i+1) (рис.4.5).

Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием [x_i-1 ,x_i+1] по формуле Симпсона имеет вид

Рис.4.5. Схема формулы Симпсона

Для определенного интеграла (4.1) отрезок [a, b] разбивается на четное число отрезков n=2m c шагом h=(b-a)/2m. Формула Симпсона в общем случае может быть записана:

где y_i=f(x_i), i=0,1,2, ……,n.

Формула Симпсона обладает повышенной точностью.

Алгоритм для приближенного вычисления интеграла (4.1) по формуле Симпсона:

1. n=2m;

2. h=(b-a)/2m;

3. x₀ = a, x_i+1 = x_i +h (i=0, 1, ……,n-2), x_n = b;

4. у_i =f ( x_i ), (i=0, 1, ……,n);

5. M₀ =y₀ + y_n =f(a)+f(b);

Для вычисления интеграла с заданной степенью точности ε надо использовать метод половинного шага, изложенный выше.

• Пример 4.3. Вычислить по формуле Симпсона интеграл

Решение. По формуле (4.13) имеем

Подставляя значения подынтегральной функции в узлах х₀=1, х₁=3, х₂=5, х₃=7, х₄=9, получим

что практически совпадает со значением интеграла, вычисленного ранее по формуле Ньютона–Лейбница.

Формула Симпсона, в частности, используется в строительной механике стержневых систем при вычислении интегралов Мора, где подынтегральной функцией является произведение эпюр изгибающих моментов (М₁М_р) или других внутренних усилий. Результат получается точным, если обе перемножаемые эпюры прямолинейны (их произведение – квадратная парабола) или одна из эпюр - параболическая, а другая линейная (произведение – кубическая парабола). Формула Симпсона применима и в тех случаях, когда стержень имеет переменное сечение или криволинейное очертание.

• Пример 4.4. Перемножить две эпюры М_р и М₁, (рис.4.6), используя формулу Симпсона и полагая EJ=Const.

Рис.4.6. Перемножаемые эпюры

Перемножать эпюры по формуле Симпсона следует на участках, где эпюры меняются плавно без скачков и переломов. При наличии же таковых (в местах приложения сосредоточенных моментов или сил) перемножение надо производить на каждом отдельном участке, где функции меняются плавно.