3.3.2. Метод Гаусса – Зейделя.

Метод представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (k+1)-й итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных: .

Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение

и подставляем в 1-ое уравнение системы (3.22):

Полученное 1-ое приближение подставляем во 2-ое уравнение системы (3.22)

Используя , находим из 3-го уравнения

Этим заканчивается построение 1-ой итерации

Используя значения , можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k+1) можно представить следующим образом:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан условием (3.18) и если оно выполняется, то за приближенное решение системы (3.22) с точностью принимается (k+1)-я итерация, т.е.

• Пример 3.3. Методом Гаусса – Зейделя решить ту же самую систему (3.19), которую решали методом Якоби.

Система, приведенная к нормальному виду:

В качестве нулевого приближения возьмем вектор свободных членов :

Применяя алгоритм Гаусса-Зейделя, последовательно получим

и т.д.

Точное решение этой системы имеет вид: х₁=1; х₂=2; х₃=1.

Расчетная схема метода Гаусса-Зейделя с использованием электронных таблиц Excel аналогична расчетной схеме метода Якоби, приведенной в разделе 3.6.1.

3.3.3. Условия сходимости итерационного процесса

Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению.

Доказывается теорема [2], что, если хотя бы одна из норм матрицы нормальной системы (3.14) меньше единицы, то итерационный процесс сходится к единственному решению. Т.е. изложенные выше итерационные методы можно использовать для систем, удовлетворяющих одному из следующих условий [6]:

А для системы (3.11) итерационный процесс сходится, если элементы матрицы А удовлетворяют условию (3.12) т.е. матрица А является матрицей «с преобладанием диагональных элементов».

• Пример 3.4. Показать, что для системы (3.19) примера 3.2 итерационный процесс является сходящимся.

Решение. Матрица системы, приведенной к нормальному виду (3.20), имеет вид:

Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы :

Достаточное условие сходимости (3.25) итерационного процесса выполнено.

Таким образом, теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты заданной системы уравнений

Однако, если det A0, то с помощью конечного числа элементарных преобразований исходную систему всегда можно привести к эквивалентной такой, что условия сходимости (3.18) будут выполнены.

• Пример 3.5. Привести систему к виду, пригодному для использования итерационных методов решения:

Решение:

1) В уравнении (В) коэффициент при х₂ по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (В) за 2-е уравнение новой системы:

2,5x₁ + 7x₂ - x₃ = 3,5;

2) Из оставшихся неиспользованных уравнений системы составляем линейно независимые между собой комбинации. За 1-е уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2С) + (А):

10х₁ - х₂ + 2х₃ = 0;

3) За 3-е уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А) – (В), т.е.

– 0,5х₁ – х₂ – 7х₃ =2,5;

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную исходной, но «с преобладанием диагональных элементов»: