2. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть уравнение (2.1): f (x)=0 на отрезке [a, b] имеет единственный корень, причем производные f ^’(x) и f ^’’(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом отрезке.

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой (рис.2.8).

Положим для определенности f ^’’(x) > 0 для x[a, b] и f(b)>0.

1. Для построения итерационной последовательности по методу касательных выберем начальное приближение (нулевую итерацию) x₀=b_. исходя из условия

f(x₀) f ^’’(x) > 0 (2.15)

2. Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B₀[x₀,f (x₀)].

3. В качестве первого приближения корня х₁ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ.

Рис.2.8. Схема метода касательных

4. Через точку B₁[x₁ ,f (x₁)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х₂ .

Аналогичным образом строим итерационную последовательность:

х₀ =b, x₁ , x₂ ,…….,x_n ,….

В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к точному решению х^* уравнения (2.1).

Для получения (n+1)-ой итерации х_n+1 запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке B_n[x_n , f(x_n)] (n=0, 1, 2, ….)

y – f (x_n) = f ^’(x_n) (x - x_n).

Полагая y=0, x=x_n+1, получим формулу для построения последовательности приближений корня уравнения (2.1):

(2.16)

Если в нашем случае положить x₀=а, т.е. условие (2.15) не выполняется, то, проведя касательную к кривой y=f(x) в точке (a, f(a)), мы получили бы точку х (рис.2.8), лежащую вне отрезка [a, b]. Выбранное таким образом начальное приближение оказывается непрактичным. В данном случае «хорошим» начальным приближением х₀ является то, для которого выполняется условие (2.15).

В математическом анализе доказывается теорема, обобщающая это правило.

Теорема 2.3. Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Если функция y=f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х0 , удовлетворяющего условию (2.15) можно вычислить корень уравнения (2.1) с заданной точностью  по формуле (2.16).

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ.

• Замечания.

1. Из формулы (2.16) видно, что чем больше значения f ^’(x) в окрестности корня х^* , тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n-му приближению, чтобы получить (n+1)–е приближение. Поэтому метод касательных особенно удобно применять тогда, когда график функции y=f(x) имеет большую кривизну в окрестности корня соответствующего уравнения, т.е. круто меняет свое значение.

2. С другой стороны, если значения производной f ^’(x) в окрестности корня х^* малы, т.е. функция достаточно пологая, то поправки будут велики и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным.

3. Следовательно, если кривая y=f(x) вблизи точки пересечения с осью ОХ почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f(x)=0 не рекомендуется.