2. Метод хорд

Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение f(x)=0 имеет на этом отрезке единственный корень x^*.

Положим для определенности f ^’’(x)>0 (рис.2.6). Вместо деления отрезка пополам, разделим его в отношении f(a): f(b).

С геометрической точки зрения способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)].

Для построения итерационной последовательности по методу хорд необходимо выбрать начальное приближение (нулевую итерацию) х_0.

Если функция y=f(x) имеет 2-ую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то начальное приближение х₀ выбирается, исходя из условия:

f(x₀) f ”(x₀ ) <0. (2.11)

Рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом функции y = f(x) на отрезке [a,b].

Первый случай. Полагаем f(а)>0, f(b)<0 и f ^’’ (x)>0 для x[a,b] (рис.2.6).

1. В качестве нулевого приближения корня выбирается тот конец отрезка [a,b], для которого выполняется условие (2.11), т.е выбираем правый конец отрезка [a, b], х₀=b.

2. Проводим хорду АВ₀ и за первое приближение (первую итерацию) х₁ принимаем абсциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.

3. Второе приближение х₂ получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ₁ с осью ОХ.

4. Аналогичным образом строим итерационную последовательность:

х₀ =b, x₁ , x₂ ,…….,x_n ,….

В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения х^* (2.1).

Для получения формулы (n+1)-ой итерации х_n+1 запишем уравнение хорды AB_n :

Полагая х=x_n+1 и y = 0 найдем абсциссу точки пересечения хорды AB_n с осью ОХ, т.е. (n+1)-ю итерацию х_n+1.

Рис.2.6. Схема метода хорд (1-й случай)

В этом случае левый конец отрезка [a,b] неподвижен и последовательные приближения (итерации) определяются по формуле:

(2.13)

Второй случай. Полагаем f(а)<0, f(b)>0 и f ^’’ (x)>0 для x[a,b] (рис.2.7).

В качестве нулевого приближения корня выбираем тот конец отрезка [a,b], для которого справедливо условие (2.11).

Для данного случая выбирается левый конец отрезка [a,b], т.е. х₀ =а, а в качестве неподвижного конца: х=b.

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному решению х^* уравнения (2.1) и определяемую следующим соотношением:

(2.14)

Рис.2.7. Схема метода хорд (2-й случай)

Таким же образом рассматриваются еще два случая, когда вторая производная отрицательна, т.е. f ^’’(x)<0 на отрезке [a, b].

Следующая теорема обобщает все четыре случая для приближенного решения нелинейного уравнения (2.1) по методу хорд.

Теорема 2.2. Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Если функция y=f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х0, удовлетворяющего условию (2.11) можно вычислить корень уравнения (2.1) с заданной точностью  по формулам (2.13) или (2.14).