Питання для самоконтролю:

1. Що таке економічні системи?

2. Які властивості економічних систем?

3. Назвіть основні ознаки за якими можна класифікувати економіко-математичні моделі.

4. У чому полягає відмінність методу МДО від лінійного програмування?

5. У яких випадках застосовують методи нелінійного програмування?

6. Коли, у яких випадках варто застосовувати методи динамічного програмування?

7. Що собою являє сиплекс-метод?

8. Завдання якого типу можна розв’язувати за допомогою теорії графів?

9. Визначення яких характеристик є необхідним при сітковому плануванні?

10. Що включає типовий аналіз проекту?

11. Яка процедура методу сіткового планування і управління?

12. У чому полягає метод ІСО?

13. У чому відмінність методу ІСО від лінійного програмування?

14. Які виробничі проблеми можна вирішувати методом ІСО?

15. У яких випадках застосовуються методом нелінійного програмування?

16. Коли, у яких випадках варто застосовувати методи динамічного програмування?

17. Що собою являє сиплекс-метод?

18. Завдання якого типу можна вирішувати за допомогою теорії графів?

Тема 4. Застосування теорії ігор у прийнятті рішень

4.1. Сутність теорії ігор і її завдання. Математична теорія ігор з «природою».

4.2. Теорія ігор у завданнях проблем мікроекономіки

4.3. Застосування апарату теорії ігор для аналізу проблем мікроекономіки

4.4. Позиційні ігри і ринок

4.1. Сутність теорії ігор і її завдання. Математична теорія ігор з «природою».

Досить часто рішення приходиться приймати в умовах невизначеності, тобто в таких умовах, коли процес виконання операції невизначений, чи нам свідомо протидіє супротивник, чи немає ясних і чітких цілей (завдань) операції. Наслідком невизначеності є те, що успіх операції залежить не тільки від наших рішень, але й від чиїхось рішень чи дій.

В цілій низці завдань приходиться аналізувати ситуації, в яких зіштовхуються якісь супротивні сторони (дві або більше) кожна з яких переслідує свою мету, причому результат будь-якого міроприємства кожної з сторін залежить від того, яких заходів вживе супротивник. Такі ситуації називають конфліктними, вивченням яких і займається теорія ігор.

Теорію ігор можна визначити як теорію математичних моделей прийняття рішень в умовах конфлікту.

Серед завдань, що вимагають застосування теорії ігор, можна назвати наступні:

• аналіз конфліктних ситуацій у військових і економічних галузях (простим економічним прикладом конфліктної ситуації, для опису якої використовується теорія ігор, є конкурентна боротьба торгових фірм чи промислових підприємств);

• обмінні і торгові операції;

• взаємовідносини між постачальником і споживачем;

• взаємовідносини між покупцем і продавцем;

• взаємовідносини між банком і клієнтом;

• аналіз і проектування ієрархічних структур управління і економічних механізмів (наприклад, аналіз різних моделей стимулювання);

• аналіз доцільності права першого ходу, взаємної інформованості, можливості блефувати;

• аналіз коаліційної поведінки;

• ряд інших завдань.

В наведених прикладах в їх основі лежить конфліктна ситуація, яка породжується відмінністю інтересів супротивників чи партнерів і прагненням кожного з них досягти переваг, досягаючи оптимального рішення. Кожному учаснику такого суперництва приходиться рахуватися не тільки з власними цілями, але й з інтересами партнера.

Мети гри — виграш одного з партнерів з врахуванням відповідних дій партнера (суперника чи супротивника).

Теорія ігор розрахована для рішень в іграх, в які грають тільки один раз. Якщо гра повторюється, то треба використати статистичні методи. В одиничній, неповторній грі теорія ігор або дозволяє вибирати одне визначене рішення «найкраще» з багатьох можливих рішень, або одержати характеристики того випадкового механізму, з допомогою якого один раз вибирається якесь одне з можливих рішень.

На змістовному рівні під грою можна розуміти взаємодію декількох осіб (гравців), що має кінцевий стан (виграш), якого прагне кожен гравець, але не кожен може досягти. Прикладом гри може бути боротьба декількох фірм за державне замовлення.

Система умов, що регламентує можливі варіанти дій сторін, об'єм інформації кожної сторони про поведінку іншої, а також результат, до якого приводить дана сукупність дій, складають правила гри.

Кожен гравець має багато можливих ходів. Вибрати один з них - зробити хід. Послідовність ходів, що приводять гру до кінцевого стану, називається партією.

Сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій під час кожного ходу в залежності від обстановки, що склалася, називається стратегією.

Результатом гри є виграш чи програш одної з сторін, як правило виражений в кількісній формі. Наприклад, математичне очікування доходу чи прибутку.

Оптимальною стратегією буде така, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даній стороні максимально можливий середній виграш.

Ігри, в яких одна сторона програє стільки, скільки виграє інша, називаються іграми з нульовою сумою. Тут будуть розглядатися тільки парні ігри з нульовою сумою.

В загальному вигляді постановка завдання теорії ігор подається наступним чином. Нехай маємо деяку операцію (цілеспрямована дія), в якій приймають участь дві сторони А і В з протилежними інтересами:

• наявні правила гри. що регламентують результати, до яких приводять можливі варіанти дій сторін;

• результати дій сторін (виграші) виражені в кількісній формі і зазначені а (математичне очікування виграшу сторони що зробила свій і-й хід приу j-му ході сторони В).

Умови гри звичайно записують в формі платіжної матриці гри (табл. 4.1.).

Таблиця 4.1.

Матриця гри

	B1	B2	…	Bn
А1	а11	а12	…	а1n
А2	а21	а22	…	А2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

В даній грі сторона А (ми) має т стратегій, а сторона В (супротивник) — п стратегій (гра т х п).

Необхідно знайти найкращі (оптимальні) стратегії сторін, а також очікуваний середній виграш (результат).

При вирішенні гри зустрічаються наступні поняття:

α= тах αі = тах тіп αij — максимін чи нижня ціна гри;

β = тіп β і = тіп тах βij — мінімакс чи верхня ціна гри.

Одержання максиміну і мінімаксу ясно з розгляду матриці гри (див. табл. 4.1).

В тих випадках, коли α = β гра має сідлову точку - елемент матриці, що є одночасно мінімальним в своєму рядку і максимальним в своєму стовпці.

Загальне значення нижньої і верхньої ціни гри а = β= ν називається чистою ціною гри.

Сідловій точці відповідає пара стратегій сторін (стратегії А і В), які є оптимальними. Сукупність цих стратегій називається вирішенням гри в чистих стратегіях.

У тих випадках, коли а ≠ β рішення знаходиться в змішаних стратегіях. Змішаними стратегіями називаються такі, які одержують шляхом випадкового чергування чистих стратегій.

Змішана стратегія сторони А позначається:

, (4.1)

де - ймовірності з якими застосовуються стратегії А₁, А₂, А_m, причому .

Аналогічно для сторони В.

, (4.2)

де .

Вирішення гри в змішаних стратегіях буде пара оптимальних змішаних стратегій, позначених і . Виграш, що відповідає цьому рішенню, називається ціною гри ν.

Стосовно до ігор 2×2 змішанні стратегії набувають дещо іншого вигляду:

; ; (4.3)

; (4.4)

. (4.5)

Стратегії, що входять в оптимальну стратегію з ймовірностями, відмінними від нуля, називаються активними.

. (4.6)