Вопрос 34. Корневые критерия качества переходных процессов.
Это группа критериев
основана на оценки качеств переходных
процессов по расположению корней
характеристического уравнения в
комплексной плоскости
В общем случайное уравнение описывается
дифференциальным уравнением.
После решения
характеристического уравнения в области
комплексного уравнения переменного
определяется корнем
.
После этого в
результате обратного преобразования
получаем уравнение переходного процесса
в следующем виде:
В соответствии уравнением (*) переходный процесс в устойчивой системе включает себя несколько составляющих апериодических и колебательных. Апериодическая составляющая определяется действительными корнями, а колебательные в парами комплексно сопряженных корней.
Если определить длительность самой длительной составляющей и колебательность самой колебательной составляющей то можно оценить переходный процесс всей системы.
С
тепень
устойчивости.
Степень устойчивости характеризует запас устойчивости плоскости корней характеристического уравнения и ровна минимальному расстоянию от корня или пара корней до мнимой оси.
Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания самой медленной затухающей составляющей переходного процесса.
Пусть имеется
этим корням соответствует 2 элементарные
составляющие переходного процесса:
где
Очевидно, чем меньше
абсолютное значение корня тем медленнее
затухает
.
Таким образом
переходный процесс, который представляет
собой сумму элементарных составляющих,
определяется, наиболее медленное
затухающей составляющей то есть минимум
,
или минимальным значением корня.
Если ближайшая к оси оказалось пара корней, то ей соответствует колебательное составляющее, у которых амплитуда, убывает по экспоненте, с показателем степени равном .
Предположим 2 пары
корней имеют одинаковую степень
устойчивости, качество этих процессов
существенно отличается друг от друга,
потому что скорость изменения координаты,
зависит от частоты.
, то есть одного критерия устойчивости
недостаточно поэтому, плоскости корней
характеристического уравнения, вводится
другой показатель качества, степень
колебательности.
Степень колебательности.
Степень колебаний
ровна минимальному (для всех корней
характеристического уравнения) модулю
отношению действительной и мнимой части
корня:
Если в плоскости корней провести два луча ОА и ОВ, таким образом чтобы два корня лежали на этих лучах а все остальные слева от них то тангенс угла расположенного между этими лучами и мнимой осью, представляют собой отношение действительных и мнимых частей, корней расположенных на этих лучах. И являются степенью колебательностью.
Степень колебателностью и степенью устойчивости связаны между собой через значение действительной части корня.
Степень колебательности и степень затухания связанны между собой следующим отношением:
