Лекция № 1. Комбинаторика. Случайные события и их вероятности.

1.Предмет изучения теории вероятностей и математической статистики.

2.Элементы комбинаторики.

3.Основные определения: испытание, событие. Классификация событий.

4.Классическое определение вероятности.

Математическая статистика-это прикладная отрасль математики. Она занимается сбором исходной информации и обработкой ее в соответствии с законами теории вероятностей.

Теория вероятностей - это строгая математическая дисциплина, занимающаяся поиском закономерностей случайных событий и изучающая их.

2.Элементы комбинаторики

Комбинаторика-раздел дискретной математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов дискретного множества в соответствии с заданными правилами; классическими в комбинаторике являются задачи определения числа подмножеств, различных в некотором смысле (перестановки, размещения, сочетания).

Группы, составленные из каких-либо предметов (безразлично каких, например, букв, шаров, чисел и т. п.), называются соединениями (комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.

Различают три типа соединений: перестановки, размещения, сочетания.

2.1.Факториал

Факториал-произведение n натуральных чисел от 1 до n.

Обозначается сокращенно n!=1·2·3·4·…·( n-1) · n

Например,5!=1·2·3·4·5=120

Считается, что 0!=1

2.2.Размещения

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами( хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Например, из трех элементов a,b,c можно составить три размещения по одному: a,b,c; шесть размещений по два элемента: ab, ac, bа, bс, cа, сb; шесть размещений по три элемента: abc , асb, bса, саb,сbа,bac.

Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается символом и вычисляется по формуле:

= , где 0≤ m≤ n.

Пример 1.Из 6 тренировок, идущих в последовательности 1,2,3,4,5,6,три отведены для занятий гимнастикой. Это могут быть занятия 1,2,3 или 1,4,5, или 3,4,6 и т.д. Последовательность занятий гимнастикой также имеет значение. Среди избранных трех занятий 1,2,3, это может 1,2,3 или 2,1,3, или

3,1,2 и т.д. Сколько возможно получить вариантов для образования последовательности трех занятий гимнастикой с перестановкой их из 3 возможных?

Для определения количество вариантов находим число размещений из 6 по 3

= = = =120

Пример 2. Тренеры сборной команды страны по спортивной стрельбе отбирают из 10 кандидатов 4 человек на участие в предстоящем Кубке Мира(все 10 кандидатов имеют равные шансы).Сколько всевозможных групп по 4 человек можно составить из 10 кандидатов?

Для определения количества всевозможных групп находим число размещений из 10 по 4.

= = = =5040

2.3.Перестановки

Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждая содержит все n элементы и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов

Например ,число перестановок из 3 элементов a,b,c равно шести:a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a.

Число перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

=n!

Пример 3

Сколькими способами могут быть расположены 6 игроков на волейбольном поле.

Общее количество игроков 6.Находим число перестановок

=6!=720

Пример 4. Жребий определяет последовательность выступлений 10 спортсменов. Сколько вообще возможно способов в последовательности их выступлений?

Общее количество спортсменов 10. Число перестановок находим по формуле