Раздел I. Случайные события и их вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Глава 1. Комбинаторика, ее основные понятия и правила . . . . . . . . . . . . . 11

1. Понятие комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Основные правила комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Основные элементы комбинаторики и их число . . . . . . . . . . . . . . 14

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Глава 2. Понятие случайного события и его вероятности . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Понятие и виды случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Основные операции над случайными событиями . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Понятие вероятности случайного события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1. Статистическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2. Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.3. Геометрическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей . . . . . . 47

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них . . . . 61

3.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий . . . . . . . 61

3.2. Теорема умножения вероятностей событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий . . . . . . . . . 72

3.4. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5. Формулы Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Глава 4. Повторение испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1. Испытания и формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Локальная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4. Интегральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Раздел II. Случайные величины и законы их распределения . . . . . . . . . . . 102

Глава 5. Случайная величина, ее виды и закон распределения . . . . . . . . . 103

5.1. Понятие случайной величины и закона распределения

вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Формы законов распределения дискретной случайной величины .106

5.3. Функция распределения случайной величины и ее свойства . . . . 110

5.3.1. Функция распределения дискретной случайной величины . 114

5.3.2. Функция распределения непрерывной случайной

величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4. Плотность распределения вероятностей и ее свойства . . . . . . . . . 118

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Глава 6. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . 128

6.1. Математическое ожидание и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.1.1. Математическое ожидание дискретной случайной

величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.1.2. Математическое ожидание непрерывной случайной

величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.1.3. Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.1. Свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3. Понятия центрированных и стандартных случайных величин . . 143

6.4. Начальные и центральные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149