7.2.2. Показательное распределение

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется показательным или экспоненциальным, если функция плотности этой величины имеет вид:

, (7.5)

где λ – постоянная положительная величина, называемая параметром данного распределения.

График показательного распределения имеет вид (рис.7.3):

Рис.7.3.

Одним из преимуществ показательного распределения является то, что оно зависит только от одного параметра λ.

Найдем функцию распределения показательного закона. Используем формулу (5.8) и, прежде всего, найдем выражение F(x) для положительных х:

.

При х ≤ 0 функция F(x) = 0. Таким образом,

.

График функции распределения имеет вид (рис.7.4):

Рис.7.4.

Найдем основные числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону.

По формуле (6.2) находим математическое ожидание:

.

При нахождении интеграла использовалась формула интегрирования по частям, и учитывалось, что при х→+∞ функция стремиться к нулю быстрее, чем возрастает любая степень х.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, обратно его параметру λ.

По формуле (6.6) найдем дисперсию, получим

.

Для нахождения дисперсии формула интегрирования по частям применялась дважды.

Среднеквадратическое отклонение равно .

Итак, для показательного распределения среднеквадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием.

Чтобы найти асимметрию показательного распределения найдем его третий центральный момент, при этом для нахождения интеграла формулу интегрирования по частям приходится применить трижды.

.

и, следовательно, коэффициент асимметрии . Как и следовало ожидать, асимметрия показательного распределения положительна.

Для нахождения эксцесса поступаем аналогично, но находим четвертый центральный момент, после преобразований, получим Е_k =6.

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону. Для этого будем использовать функцию распределения и формулу (5.3):

.

Значения функции находят по таблице.

Показательное распределение имеют, например, величины срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий. Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.

7.3. Нормальный закон распределения непрерывной

случайной величины

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет огромную роль в теории вероятностей и ее приложениях и занимает исключительно важное, особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом при определенных условиях для некоторых других законов распределения.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным или законом Гаусса, если функция плотности этой величины имеет вид:

, (7.6)

где т и σ – некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Найдем функцию распределения нормального закона. На основании формулы (5.8) получим

.

Найдем числовые характеристики нормально распределенной случайной величины. По определению

.

Введем новую переменную по формуле . Тогда , а , причем, очевидно, что пределы интегрирования остаются теми же. Итак, получаем

.

Первый из интегралов в правой части полученного равенства равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй интеграл – это интеграл Пуассона, который равен . Следовательно,

.

Таким образом, параметр т нормального распределения равен математическому ожиданию соответствующей случайной величины, т.е. т = М(Х).

Учтем полученный результат при нахождении дисперсии:

Введем новую переменную по формуле . В результате чего получим

.

Далее, после применения формулы интегрирования по частям, получим

.

Первое слагаемое в скобках равно нулю, так как по правилу Лопиталя, а второе слагаемое, уже известный интеграл Пуассона, равно .

Отсюда, .

Итак, дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна квадрату второго параметра, т.е. , а, следовательно, сам второй параметр определяет среднеквадратическое отклонение. В дальнейшем, для нормально распределенной случайной величины будем использовать следующие обозначения: и .

Параметры нормального распределения имеют простую геометрическую интерпретацию. Для того чтобы это понять исследуем функцию плотности и построим ее график. Исследование будем проводить по общей схемы из классического математического анализа.

Итак, исследуется функция .

1. Областью определения функции f(x) является вся вещественная прямая.

2. Функция f(x) может принимать только положительные значения, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения, а среднеквадратическое отклонение и арифметический корень также отрицательными быть не могут.

3. Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, так как

.

4. Функция f(x) в точке х = т имеет экстремум, равный

.

Для доказательства возьмем первую производную и приравняем ее к нулю, получим

.

При переходе через точку х = т производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке х = т функция f(x) имеет максимум. Кроме этого, очевидно, что на промежутке функция f(x) возрастает, а на промежутке функция f(x) убывает.

5. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = т.

6. График функции f(x) в точках имеет перегиб.

Для доказательства возьмем вторую производную и приравняем ее к нулю, получим

.

При переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно, являются точками перегиба.

На основании полученного исследования строим график функции плотности нормального распределения f(x).

К ривая нормального распределения имеет симметричный холмообразный вид:

Рис.7.5.

Выясним, как влияют параметры нормального распределения на график функции плотности.

При изменении т кривая f(x), не изменяя своей формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс влево или вправо, в зависимости от того уменьшаться или увеличиваться будет число т: т₁ < т < т₂

Рис.7.6.

При изменении σ будет меняться масштаб кривой по обеим осям. При этом график функции будет либо вытягиваться вверх (при уменьшении σ), либо кривая будет становиться более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (при увеличении σ):

Рис.7.7.

Используя определение центральных моментов для нормального распределения и метод замены переменной при нахождении интегралов, можно получить следующее рекуррентное соотношение:

.

Данная формула позволяет выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Так, например, очевидно, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, так как μ₁=0. Таким образом, асимметрия, равная центральному моменту, равна нулю, следовательно, распределение симметрично относительно своего математического ожидания, что и было использовано при построении графика функции плотности. Выше было найдено значение дисперсии D(X)=σ². Так как дисперсия – это второй центральный момент, то μ₂= σ². Используя рекуррентную формулу, найдем центральный момент четвертого порядка: μ₄=3σ²μ₂=3σ⁴, а затем эксцесс: .

В шестой главе было рассмотрено понятие стандартной случайной величины и доказана теорема о том, что математическое ожидание стандартной величины равно 0, а дисперсия – 1. Для нормального распределения тоже можно указать стандартную случайную величину, т.е. величину, параметры которой равны т=0 и σ=1. Функция плотности стандартной нормально распределенной случайной величины равна

(7.7)

Итак, формула (7.7) определяет функцию плотности распределения случайной величины , где Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами т и σ. Значения функции приведены в приложении 1.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на некоторый интервал (а, b). Но прежде напомним определение некоторой специальной функции.

Функцией Лапласа или интегралом вероятностей Ф(х) называется следующий определенный интеграл

(7.8)

Интеграл в формуле (7.8) не выражается через элементарные функции, но для нахождения значений функции Ф(х) существует таблица (приложение 2).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф(0)=0;

2. Ф(–х)=–Ф(х) – функция нечетная;

3. Ф(–∞)=–0,5; Ф(+∞)=0,5.

Необходимо отметить, что в некоторых учебниках по теории вероятностей за функцию Лапласа принимают не функцию (7.8), а другую, отличающуюся от нее постоянным множителем.

Перейдем теперь к нахождению вероятности попадания случайной величины на интервал. Используем формулу (5.7) и (7.6), получим

.

Сделав в последнем интеграле замену переменной и применив формулу (7.8), получим

Итак, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а; b) может быть вычислена по формуле

(7.9)

С помощью формулы (7.9) можно функцию распределения F(x) выразить через функцию Лапласа, а именно

.

Пример 7.5. Завод изготавливает шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с т=10 мм и σ=0,4 мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром d₁=10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром d₂=9,3 мм. Найти процент брака.

Решение. Пусть Х – фактический диаметр. Так как по условию задачи Х распределена по нормальному закону, то можно применить формулу (7.9) и найти вероятность того, шарик не попадет в брак, т.е. диаметр окажется в допустимых пределах

При нахождении значения функции Ф(1,75) использовалась таблица значений функции Лапласа (приложение 2). Отсюда вероятность того, что шарик окажется бракованным, равна 1− 0,918 = 0,082. Следовательно, 8,2% шариков будут забракованы. ■

Пример 7.6. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т=20 и σ=10. Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. По условию задачи необходимо найти следующую вероятность

.

Применяя формулу (7.9), получим

.■

Решение примера 7.6 дает следующий частный случай формулы (7.9).

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами т и σ на участок длиной 2h, симметричный относительно центра рассеивания вычисляется по формуле

(7.10)

Пример 7.7. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами т и σ. Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не больше, чем 3σ.

Решение. По условию задачи, нужно найти вероятность Применим формулу (7.10), получим

.■

Вероятность, полученная в решении примера 7.7, достаточно велика. Кроме этого, она не зависит от величины математического ожидания. На основе этого результата можно предположить, что почти все значения случайной величины не отступают от математического ожидания на величину большую, чем 3σ. Иначе говоря, вероятность того, что то или иное значение величины Х не попадает в интервал с границами т±3σ равна 0,0027, т.е. близка к нулю. Это означает, что лишь в 0,27% случаев такое может произойти. Такие события практически можно считать невозможными. По сути, здесь было выведено одно из очень важных правил, относящихся к нормально распределенным случайным величинам, так называемое "правило трех сигм".

Правило трех сигм. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда отклонение этой величины от своего математического ожидания по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднеквадратического отклонения.

По этому правилу считают, что возможные значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за пределы интервала [m – 3σ, m + 3σ]. Поэтому функцию плотности, в основном, и строят на этом интервале. Кроме этого, "правило трех сигм" может быть применено и для установления закона распределения некоторой случайной величины. Так, например, если закон распределения случайной величины Х неизвестен, само правило для этой величины выполняется, то есть основания предположить, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Особая роль, которую играет нормальный закон распределения в теории вероятностей, связана с одним его замечательным свойством. Оказывается, что сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиняющихся каким угодно законам распределения, приближенно описывается нормальным законом распределения, причем тем точнее, чем больше число случайных величин суммируется. Например, при массовом изготовлении гаек разброс значений их диаметра связан со случайными отклонениями характеристик материала, колебаниями температуры, вибрациями станка, изменениями напряжения в электросети, стачиванием инструмента и т.д. Все эти случайные факторы действуют примерно в одинаковой мере и независимо друг от друга. Они суммируются, и в результате фактический диаметр гайки оказывается непрерывной случайной величиной, описываемой нормальным законом распределения. Математическое ожидание этой величины есть, очевидно, эталонное значение диаметра гайки, а дисперсия характеризует степень разброса фактических значений диаметра около эталонного значения.

Аналогично рассуждая, можно придти к выводу, что очень многие ошибки измерения также имеют нормальный закон распределения. Как уже отмечалось, нормальное распределение иногда называют распределением Гаусса. В работах Гаусса это распределение и рассматривалось в связи с исследованиями по теории ошибок.

Само понятие нормального распределения впервые появилось в работе Муавра как предельная форма биномиального распределения.

В заключение, рассмотрим еще одну задачу.

Пример 7.8. Считается, что отклонение длины изготавливаемых изделий от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна т=40 см и σ=0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Решение. Пусть точность равна ε. Тогда по условию задачи должно выполняться неравенство . Найдем значение ε, при котором достигается равенство, получим

. ■

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить закон распределения числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,6.

2. Из урны, содержащей 7 белых и 4 черных шара, наугад извлекают 3 шара. Пусть Х – число вынутых черных шаров. Построить ряд распределения для этой случайной величины и найти ее математическое ожидание.

3. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания в цель при любом выстреле равна 0,6. Найти распределение боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

4. Имеется 4 ключа, из которых только один походит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

5. На пути движения автомобиля 5 светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

6. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания. Вероятность попадания равна 0,9. Число колец 5. Составить ряд распределения случайной величины Х, равной числу неиспользованных колец.

7. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

8. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонят 3 абонента; в течение одной минуты позвонят 4 абонента?

9. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2; 7]. Найти плотность распределения данной случайной величины.

10. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-3; 2]. Найти функцию распределения данной случайной величины.

11. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [3; 8]. Найти функцию распределения данной случайной величины.

12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [2; 8].

13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [7; 10].

14. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [-2; 7].

15. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

16. Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями, отделенными расстояниями 10 см. Округление производится до ближайшего деления; случайная величина Х – ошибка измерения. Найти и построить ее функцию плотности, функцию распределения; найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

17. Случайная величина распределена равномерно на участке (а, в). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.

18. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

19. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда?

20. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

21. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

22. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).

23. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределению с параметрами а = 375 г., σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

24. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

25. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием т и среднеквадратическим отклонением σ. Вычислить с точностью до 0,01 вероятности попадания Х в следующие интервалы (т, т+σ), (т+σ, т+2σ), (т+2σ, т+3σ).

26. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 65 т и среднеквадратическим отклонением σ = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

27. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

28. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и среднеквадратическим отклонением 0,9 см. Установить:

1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см;

2) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см;

3) в каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.

29. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и среднеквадратическим отклонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3, 4], а при втором испытании – на отрезке [1, 2]?

30. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 10. Каково должно быть среднее квадратичное отклонение σ этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?

31. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т и σ. Определить вероятность p_k того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины kσ (ответ получить для трех значений = 1, 2, 3).

32. Для нормально распределенной случайной величины 15% значений х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

33. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется среднеквадратическим отклонением σ =5. Предполагая, что Х – нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

34. В условиях предыдущей задачи выяснить, какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

35. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

36. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

37. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и У (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

38. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

39. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35, 40)?

40. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 10 мм и среднеквадратическим отклонением, равным 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

41. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна т. Предполагая, что дальность полета Х распределена по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 80м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160 метров.

42. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание равно 175 см, а среднеквадратическое отклонение равно 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.