7. 1. 4. Гипергеометрическое распределение
Пусть имеется множество, состоящее из N элементов. М из этих элементов обладают некоторым признаком А. Случайным образом, из этого множества извлекаются n элементов (без возвращения). Пусть случайная величина Х определяет число элементов из выбранных n, которые обладают признаком А. Будем вначале считать, что n<M. Очевидно, что тогда случайная величина может принимать следующие значения:
х1 = 0 – из выбранных элементов нет ни одного с признаком А;
х2 = 1 – из выбранных элементов только один с признаком А;
х3 = 2 – из выбранных элементов только два с признаком А;
…………………………………………………………………..
хn = n−1 – из выбранных элементов только n−1 с признаком А;
хn+1 = n – все выбранные элементы с признаком А.
Если не предполагать выполнение условия n<M, то последнее значение случайной величины будет равно min (n, M).
Для нахождения вероятностей этих значений можно воспользоваться классической формулой, получим
….;
Гипергеометрическим распределением называется распределение дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения т=0,1,2,…, min (n, M), а вероятности этих значений находятся по формуле:
,
где величины N, M, n – параметры данного распределения.
В тех случаях, когда n значительно меньше N гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.
Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции.
Пример 7.4. В партии из 12 деталей 3 детали бракованные. Случайным образом выбирается две детали. Случайная величина Х определяет число бракованных деталей в выбранных двух. Построить ряд распределения данной случайной величины.
Решение. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2. Вероятности этих значений можно вычислить по классической формуле:
Итак, ряд распределения имеет следующий вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
Р |
|
|
|
■
Для
случайной величины, распределенной по
гипергеометрическому закону, приведем
без доказательства формулы только для
математического ожидания и дисперсии:
;
.
Рассмотренные выше законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, Пуассона, геометрический и гипергеометрический – иногда, особенно в англоязычной литературе, называют специальными законами распределения вероятности.
Перейдем теперь к конкретным видам законов распределения непрерывной случайной величины.
7.2. Виды законов распределения непрерывной случайной
величины
Основное отличие законов распределения дискретной случайной величины друг от друга состоит в формуле, по которой находится вероятность появления того или иного значения дискретной величины. Аналогом вероятности для непрерывной случайной величины является функция плотности. В зависимости от формы функции плотности существует несколько видов законов распределения непрерывной случайной величины. Одним из самых простых является равномерный закон распределения.