189

Глава 7.

Конкретные законы распределения случайных величин

7.1. Виды законов распределения дискретных случайных величин

Пусть дискретная случайная величина может принимать значения х₁, х₂, …, х_n, … . Вероятности этих значений могут быть вычислены по различным формулам, например, при помощи основных теорем теории вероятностей, формулы Бернулли или по каким-то другим формулам. Для некоторых из этих формул закон распределения имеет свое название.

Наиболее часто встречающимися законами распределения дискретной случайной величины являются биномиальный, геометрический, гипергеометрический, закон распределения Пуассона.

7.1.1. Биномиальный закон распределения

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления этого события в каждом единичном испытании постоянна, не зависит от номера испытания и равна р=Р(А). Отсюда вероятность не появления события А в каждом испытании также постоянна и равна q =1–р. Рассмотрим случайную величину Х равную числу появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что значения этой величины равны

х₁=0 – событие А в n испытаниях не появилось;

х₂=1 – событие А в n испытаниях появилось один раз;

х₃=2 – событие А в n испытаниях появилось два раза;

…………………………………………………………..

х_n+1 = n – событие А в n испытаниях появилось все n раз.

Вероятности этих значений могут быть вычислены по формуле Бернулли (4.1):

, (7.1)

где к=0, 1, 2, …, n .

Биномиальным законом распределения называется распределение дискретной случайной величины Х, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли, с вероятностью успеха р.

Итак, дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле (7.1).

Биномиальное распределение зависит от двух параметров р и n.

Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:

Х	0	1	…	k	…	n
Р			…		…

Пример 7.1. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Построить ее ряд распределения.

Решение. Возможными значениями случайной величины Х являются х₁=0; х₂=1; х₃=2; х₄=3. Найдем соответствующие вероятности, используя формулу Бернулли. Нетрудно показать, что применение этой формулы здесь вполне оправдано. Отметим, что вероятность не попадания в цель при одном выстреле будет равна 1-0,4=0,6. Получим

Ряд распределения имеет следующий вид:

Х	0	1	2	3
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей равна 1. Сама случайная величина Х распределена по биномиальному закону. ■

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

При решении примера 6.5 было показано, что математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р, равно n·р

В этом примере использовалась случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому решение примера 6.5, по сути является доказательством следующей теоремы.

Теорема 7.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний на вероятность "успеха", т.е. М(Х)= n·р.

Аналогично, решение примера 6.9 можно считать доказательством теоремы 7.2.

Теорема 7.2. Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равна произведению числа испытаний на вероятность "успеха" и на вероятность "неудачи", т.е. D(Х)= nрq.

Асимметрия и эксцесс случайной величины, распределенной по биномиальному закону, определяются по формулам

и .

Эти формулы можно получить, воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов.

Биномиальный закон распределения лежит в основе многих реальных ситуаций. При больших значениях n биномиальное распределение может быть аппроксимировано с помощью других распределений, в частности с помощью распределения Пуассона.