Свойства функции плотности

1. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины является неотрицательной функцией, т.е. f(x) ≥ 0.

Доказательство. Из курса математического анализа известно, что производная неубывающей функции – неотрицательна. По свойству функции распределения F(x) – неубывающая, следовательно, ее производная f(x) – неотрицательна.

Из этого свойства следует, что точки кривой распределения (графика функции плотности) расположены не ниже оси абсцисс.

2. Несобственный интеграл от плотности по всей вещественной прямой равен 1, т.е. .

Доказательство. Несобственный интеграл в левой части по формуле (5.7) выражает вероятность попадания случайной величины на всю ось абсцисс. Очевидно, что это достоверное событие, а вероятность достоверного события равна 1.

Из этого свойства следует, что полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. В частности, если случайная величина может принимать значения только из некоторого интервала (а, b), то .

Итак, мы познакомились с двумя видами случайных величин: дискретными, у которых конечное или счетное множество значений, и непрерывными, у которых функция распределения непрерывна и дифференцируема. Существует еще вид случайных величин, являющихся, как бы, промежуточным между ними. Это так называемые смешанные случайные величины, т. е. величины, у которых, функция распределения непрерывна и дифференцируема на отдельных участках, а в отдельных точках имеет разрывы – скачки. При этом на этих отдельных участках она не обязательно постоянна, как в случае дискретной случайной величины. Однако эти случайные величины не являются предметом рассмотрения данного пособия.

Несмотря на то, что значения случайной величины заранее предсказать нельзя, у нее существуют некоторые другие характеристики, которые могут быть вычислены по определенным формулам и которые достаточно хорошо характеризуют распределение этих величин. Это так называемые числовые характеристики случайных величин.

Задачи для самостоятельного решения

1. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы:

1)	Х	2	3	4	5
	Р	0,1	0,4	0,3	0,2

2)	Х	6	7	8	9
	Р	0,1	0,2	0,3	0,5

2. Распределение дискретной случайной величины задано следующим рядом распределения

	Х	−3	0	1	2
	Р	0,3	А	0,1	0,2

Найти постоянную А и построить многоугольник распределения.

3. Монета бросается 3 раза. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Построить для нее ряд и многоугольник распределения.

4. Найти распределение суммы очков при бросании двух игральных кубиков.

5. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующим рядом распределения

	Х	−2	1	4	5
	Р	0,3	0,4	0,1	0,2

Найти функцию распределения, построить ее график и определить вероятность того, что случайная величина примет значение, попадающее в полуинтервал .

6. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующим рядом распределения

	Х	−5	−3	0	1
	Р	0,1	0,4	0,3	0,2

Найти функцию распределения, построить ее график и определить вероятность того, что случайная величина примет значение, попадающее в полуинтервал .

7. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая, независимо друг от друга, по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7; для второго – 0,6. Рассматриваются две случайные величины: Х – число попаданий первого стрелка; У – число попаданий второго стрелка. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Z = Х – У.

8. Дана функция . Определить, является ли эта функция функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины.

9. Дана функция . Показать, что эта функция является функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение из интервала .

10. Является ли функцией распределения непрерывной случайной величины функция .

11. Найти плотность распределения вероятностей по известной функции распределения и построить графики обеих функций:

1)

2)

3)

4)

12. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией . Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (1,2).

13. Дана функция . При каком значении постоянной С эта функция является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины?

14. Найти функцию распределения случайной величины, плотность распределения вероятностей которой определена функцией

.

15. Зная, что плотность распределения вероятностей случайной величины Х определяется равенством , требуется: 1) найти коэффициент а;

2) найти функцию распределения;

3) определить вероятность попадания случайной величины в интервал .

16. Функция распределения случайной величины Х задана формулой . Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение:

1. меньшее 0,2;

2. меньшее трех;

3. не меньшее трех;

4. не меньшее пяти.

17. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, если ее плотность равна .

18. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале равна ; вне этого интервала плотность равна нулю. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях эта случайная величина примет ровно два раза значение, заключенное в интервале .