5.3. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Пусть Х – некоторая случайная величина. Зафиксируем произвольное действительное число х. Под выражением "Х < х" будем понимать случайное событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем число х, т.е. значения случайной величины попадут в промежуток (-∞; х). Как известно, каждое случайное событие имеет свою вероятность, поэтому существует и понятие вероятности для рассматриваемого события. Каждому значению х соответствует только один такой промежуток, а каждому такому промежутку – только одно событие "-∞<X<x" со своей вероятностью. Очевидно, что для каждой конкретной случайной величины эта вероятность будет зависеть от числа х, т.е. будет являться функцией переменной х. Эту функцию и назовем функцией распределения.

Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее чем х, т.е.

(5.2)

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией. Такое название будет понятно из дальнейшего.

Функция распределения, заданная формулой (5.2), имеет огромное значение для всей теории вероятностей. В левой части этой формулы записана функция действительного аргумента, т.е. функция, которую изучают в классическом математическом анализе. В правой части формулы – вероятность случайного события, т.е. величина, изучаемая в теории вероятностей. Таким образом, формула (5.2) связывает два, казалось бы, совершенно разных раздела высшей математики: математический анализ, где все строго и четко определено, и теорию вероятностей, где многое зависит от случайностей различного рода. Кроме этого, эта формула дает возможность при исследовании разных теоретических и практических вопросов теории вероятностей использовать очень хорошо разработанный аппарат математического анализа.

Можно дать геометрическую интерпретацию функции распределения. Каждое значение этой функции – это вероятность того, что значение случайной величины Х попадет на оси левее заданной точки х:

Х < х

х

Рис. 5.2.

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения лежат между нулем и единицей, т.е.

.

Это свойство непосредственно следует из формулы (5.2) и свойства вероятности случайного события.

2. Функция F(x) является неубывающей функцией, т.е. для любых х₁< х₂ выполнено неравенство F(x₁)≤ F(x₂).

Доказательство. Найдем F(x₂):

,

т.к. второе слагаемое, как вероятность - неотрицательно, то F(x₂)≥ F(x₁).

Свойство доказано.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а, b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах рассматриваемого полуинтервала, т.е.

(5.3)

Доказательство следует из доказательства свойства 2. В нем была получена формула

.

Положив х₁=а и х₂=b, получим . Перенеся значение F(a) в другую часть равенства, получим формулу (5.3).

Свойство доказано.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то выполнены соотношения: F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при х≥b.

Доказательство. Пусть х₁≤а. Тогда событие Х<x₁ невозможно, так как по условию нет значений случайной величины, меньших х₁. Следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Пусть теперь х₂≥b. Тогда событие Х<x₂ достоверно, так как по условию все значения случайной величины меньше х₂. Следовательно, вероятность этого события равна 1.

Свойство доказано.

Из последнего свойства вытекает утверждение.

Утверждение. Для функции распределения непрерывной случайной величины справедливы следующие предельные соотношения:

.

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь одно конкретное значение, равна нулю, т.е. для непрерывной случайной величины Х выполнено Р(Х=а)=0.

Доказательство. Положим в формуле (5.3): b = а + h. Тогда

.

Перейдя в последнем равенстве к пределу при h→0, получим

.

Свойство доказано.

Итак, для непрерывной случайной величины не имеет смысла говорить о вероятности ее отдельного значения (она все равно равна нулю), а имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее значений в некий интервал. Этот факт полностью согласуется с решением практических задач. Например, при изготовлении детали рабочий не стремится к тому, чтобы определенный размер был абсолютно точен (практически это невозможно), но он следит за тем, чтобы размер не вышел за пределы допуска.

Используя свойство 5 для непрерывной случайной величины, можно доказать справедливость следующих формул:

.

Докажем, например, первую. Для этого применим теорему сложения вероятностей, получим

.

Таким образом, формула (5.3) для непрерывной случайной величины может быть записана в следующем виде

(5.4)

Рассмотрим более конкретно построение функции распределения для дискретной случайной величины.