Вопросы к экзамену

1. Основные понятия эконометрики (предмет эконометрики, особенности взаимосвязей экономических переменных, введение случайной компоненты в экономическую модель, понятие эконометрической модели, классификация эконометрических моделей).

2. Этапы построения эконометрической модели. Характеристика первого этапа.

3. Характеристика экономических данных

4. Парная линейная регрессия (метод оценивания параметров линейной регрессии, требования к ошибкам _i, свойства оценок.

5. Условия Гаусса-Маркова, теорема Гаусса Маркова

6. Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии.

7. Интерпретация коэффициентов парной линейной регрессии.

8. Оценка качества модели (коэффициент корреляции, индекс корреляции, коэффициент детерминации).

9. Нелинейные регрессионные модели

10. Методика множественного корреляционного анализа: этапы многофакторного корреляционного анализа, отбор факторов.

11. Спецификация множественной регрессионной модели .(построение системы нормальных уравнений для двухфакторной линейной регрессии). Интерпретация коэффициентов множественной регрессии..

12. Анализ статистической значимости коэффициентов двухфакторной линейной регрессии. Парные и частные коэффициенты корреляции, их интерпретация.

13. Бетта-коэффициенты и коэффициенты эластичности, их назначение и интерпретация.

14. Оценка качества модели множественной регрессии: критерий Фишера. Множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

15. Проверка условий, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения регрессии. Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина-Уотсона.

16. Мультиколлинеарность, ее обнаружение и устранение

17. Гетероскедастичность модели, ее обнаружение и устранение

18. Экономическое прогнозирование на основе построенной модели.

19. Понятие ошибок при построении доверительного интервала.

20. Временные ряды, основные понятия и определения

21. Системы одновременных уравнений

Методические указания к решению контрольных заданий

Задача 1 составлена по теме «Однофакторная линейная регрессионная модель» и предполагает построение и анализ уравнения парной линейной регрессии. Для выполнения задачи изучите следующий материал [].

Различают два типа взаимосвязей между экономическими переменными: функциональную (или жестко детерминированную) и статистическую (или стохастически детерминированную).

Функциональная связь — это вид причинной зависимости, при которой определенному значению факторного признака соответствует вполне определенное значение результативного признака.

Стохастическая (статистическая) связь — это вид причинной зависимости, проявляющейся не в каждом отдельном случае, а в общем, в среднем, при большом числе наблюдений, когда каждому значению одной переменной соответствует множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной.

Корреляционная связь — это зависимость среднего значения результативного признака от изменения факторного признака; в то время как каждому отдельному значению факторного признака Х может соответствовать множество различных значений результативного (Y) .

Задачами корреляционного анализа являются:

1) изучение степени тесноты связи двух и более явлений;

2) отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак;

3) выявление неизвестных причинных связей.

Исследование корреляционных зависимостей включает ряд этапов:

1) предварительный анализ свойств совокупности;

2) установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

3) измерение степени тесноты связи между признаками;

4) построение регрессионной модели, т. е. нахождение аналитического выражения связи;

5) оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация и практическое использование.

Цель регрессионного анализа — установить конкретную аналитическую зависимость результативных показателей от одного или нескольких признаков-факторов. Полученное при этом уравнение регрессии используется для содержательного описания изучаемого процесса, прогнозирования, выбора оптимального варианта и т. д. Если в уравнение регрессии включены признаки-факторы, учитывающие и возможное случайное поведение результативного признака, то такое выражение представляет регрессионную модель явления или процесса. Наибольшее применение получили уравнения регрессии, отражающие взаимосвязь одного результативного признака с одним (парная регрессия) или несколькими (множественная регрессия) признаками-факторами.

Для того чтобы приступить к выполнению 1 задачи, определите причинную зависимость результативного признака (его вариации) от вариации факторного признак, т.е. определите, какой из данных показателей является фактором, а какой результатом.

Например. Расходы на питание — это переменная , а душевой доход — переменная . Здесь ясно, какой признак выступает как независимая переменная (фактор), а какой как зависимая переменная (результат).

Данные выборки. Табл. 1

№ группы	Расход на питание (тыс. руб.) ( )	Душевой доход (тыс. руб.) ( )
1	43	62
2	61	157
3	90	265
4	111	370
5	130	479
6	148	592
7	164	728
8	191	935
9	241	980

Пункт 1 первой задачи связан с использованием графического метода. Этот метод используется для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками. Для этого в прямоугольных осях координат строят график, Каждая точка на графике – это пара значений из выборки (Х,Y), по оси ординат которого откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек называется полем корреляции (рис. 1).

Рис. 1. Поле корреляции

Таким образом выполнено задание: Постройте поле корреляции и сделайте выводы о направлении и характере связи, выявите форму воздействия фактора X на результат Y.

В Пункте 2 необходимо определить неизвестные параметры уравнения регрессии и дать им экономическую интерпретацию.

В модели парной линейной регрессии зависимость между переменными и представляется в виде следующей формулы:

(1.1)

где – случайная ошибка модели (error, или disturbance). Постоянные – неизвестные параметры модели. Наличие случайного члена связано с воздействием на зависимую переменную других факторов, не учтенных в функции регрессии, с возможной нелинейностью модели и ошибками измерения. В данной модели функция регрессии является линейной функцией: .

Когда вид функции известен, то для решения задачи используют МНК (метод наименьших квадратов), который заключается в следующем.

Рассмотрим задачу нахождения оценок неизвестных параметров модели (1.1) по результатам наблюдений .

Если исследуемые переменные и связаны соотношением (1.1), то и результаты наблюдений связаны аналогичными соотношениями:

, (1.2)

где – случайная ошибка -го наблюдения. Чем меньше , тем ближе значение функции регрессии к значению . Будем искать такие значения и , при которых одновременно все значения «достаточно малы». В этом случае значения линейной функции регрессии окажутся близкими к соответствующим значениям зависимой переменной . Для решения этой проблемы воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК).

В соответствии с МНК определяем такие значения параметров , при которых достигает своего минимального значения сумма квадратов ошибок модели в наблюдениях:

.

В дальнейшем индексы суммирования в целях упрощения обозначений будем опускать.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных, приравниваем к нулю ее частные производные:

После преобразования получим систему нормальных уравнений для определения оценок неизвестных параметров линейной регрессии:

(1.3)

Разделив обе части системы (1.3) на , получим систему нормальных уравнений в следующем виде:

(1.4)

где соответствующие средние (means) определяются по формулам

Подставляя значение из первого уравнения (1.4) во второе уравнение, найдем оценки неизвестных параметров регрессии:

(1.5)

где – выборочная дисперсия (sample variances) переменной а – выборочная ковариация или выборочный ковариационный момент. Статистики называются оценками наименьших квадратов (least squares estimates) неизвестных параметров и , или LS-оценками.

Оценку функции регрессии (эмпирическую регрессию, выборочную регрессию, уравнение прямой регрессии по ) определяют следующие соотношения:

и . (1.6)

Линия регрессии всегда проходит через точку . Коэффициент – угловой коэффициент регрессии. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится переменная при увеличении независимой переменной на единицу.

Постоянная дает оценку среднего значения зависимой переменной при . Эта интерпретация возможна или невозможна в зависимости от того, насколько далеко находится от выборочных значений .

Суммирование ведется по n наблюдениям. В примере n=9.

Решая данную систему уравнений, найдите неизвестные параметры линейного уравнения регрессии и дайте им необходимую интерпретацию.

Расчет производных величин для определения параметров уравнения a и b, а также коэффициента корреляции проведем в таблице следующего вида:

n	y	x	yx	x2	y2
1
2
3
.....

Для определения оценок параметров a и b по известным выборочным данным расчетная таблица с результатами будет выглядеть так:

№	Расход на питание ( )	Душевой доход ( )
1	43	62	2666	3844
2	61	157	9577	24649
3	90	265	23850	70225
4	111	370	41070	136900
5	130	479	62270	229441
6	148	592	87616	350464
7	164	728	119392	529984
8	191	935	178585	874225
9	241	980	236180	960400
Сумма	=1179	=4568	=761206	=3180132
Среднее	=131	=507,56	=84578,44	=20694,78

Используя данные таблицы, получим решение системы . Таким образом, модель имеет вид:

(3) -уравнение регрессии.

Параметрам линейной регрессии можно придать экономический смысл. Выполним экономическую интерпретацию параметров уравнения, а также уравнения в целом:

a) Коэффициент — показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением дохода на 1 единицу расходы на питание повышаются в среднем на 0,19. Другими словами, из каждого дополнительного рубля дохода 19 копеек будут израсходованы на питание.

в) Коэффициент формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

с) Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии (если >0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая, т.е. с увеличением душевого дохода расходы на питание также увеличиваются.

d) Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х из выборки, можно определить выровненные (теоретические) значения результативного показателя для каждого наблюдения . Полученные величины показывают, какой бы был расход на питание при соответствующих доходах, если бы данная группа использовала бы свои доходы в такой степени, как в среднем все анализируемые группы.

Результаты необходимо оформить в виде таблицы:

№ п/п	Предсказанное Расход на питание	Остатки
1	46,81	-3,81
2	64,76	-3,76
3	85,17	4,83
4	105,01	5,99
5	125,60	4,40
6	146,96	1,04
7	172,65	-8,65
8	211,76	-20,76
9	220,27	20,73
Всего	1179,00	0,00

Необходимо также построить график полученного уравнения регрессии:

Рис.2.

Далее нужно рассчитать показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции , который рассчитывается по формуле: (4) , где — выборочные средние, и — выборочные дисперсии.

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от

–1 до +1. Если , то связь считается сильной. Если , слабая связь. Этот коэффициент дает объективную оценку лишь при линейной зависимости. В нашем примере

то коэффициент корреляции будет равен =0,98.

Таким образом, связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Интерпретируйте полученное значение коэффициента корреляции. Увяжите этот результат с выводами, сделанными в пунктах 1 и 2.

Замечание: Коэффициент корреляции можно использовать для нахождения неизвестных параметров регрессии.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

R²= = .

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. Например, R²=0.8 означает, что доля вариации результата, объясненная вариацией фактора X , включенного в уравнение регрессии, равна 80% . Остальные 20% приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

В нашем примере R²=0,97. Это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 97% изменения расходов на питание. Остальные 3% изменения расходов на питание объясняются факторами, не учтенными в модели.

Оценки параметров модели (коэффициенты регрессии) (в примере ) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле: , где i- номер факторного признака, если рассматривается множественная регрессия и и m – число параметров в модели.

0н показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов. В примере, а=0,1257, среднее значение х =6080,6 и среднее значение у =1313,9. Коэффициент эластичности тогда равен 0,58, что говорит о том, что если фактор x изменится на 1%, то фактор y изменится на 0,58%.

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения: β= Т.е. увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,79 среднеквадратичного отклонения этих расходов.

Пункты 3 и 4, связаны с темой «Проверка статистических гипотез». Рекомендуется использовать следующую общую процедуру проверки гипотез:

1. Выдвинете нулевую гипотезу H₀ о том, что коэффициент регрессии статистически незначим; H₀: a = 0 .

2. Определите фактическое значение соответствующего критерия.

3. Сравните полученное фактическое значение с табличным (критическим).

4. Если фактическое значение используемого критерия превышает табличное, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1 - α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии или уравнения в целом. Если фактическое значение t — критерия меньше табличного, то говорят, что нет оснований отклонить ноль-гипотезу.

Для парной линейной регрессии оценка статистической значимости коэффициента b производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: H₀: b=0.

2. Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии по формуле где , где S(b) – стандартная ошибка коэффициента регрессии используется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов; остаточная дисперсия на одну степень свободы, = , где .

Процедура оценивания существенности параметра а не отличается от рассмотренной для коэффициента регрессии b: где

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Стьюдента (таблица 3) для заданного уровня значимости , принимая во внимание, что число степеней свободы для распределения Стьюдента равно (n-m).

4. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента уравнения.

В рассматриваемом примере

S(b)= и t_факт.>t_крит., где t_крит.=2,36.

Значит, параметр b существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Проверка значимости модели регрессии. Вопрос о том, отличается ли существенно от нуля, решается путем проверки гипотезы о значимости линейной регрессионной модели. При этом проверяется нулевая гипотеза (коэффициент детерминации генеральной совокупности равен нулю, модель регрессии незначима), при конкурирующей гипотезе: (модель регрессии значима). Проверка значимости модели осуществляется с помощью F-критерия Фишера.

Значение статистики F-критерия находится по формуле

,

где — число параметров модели (1.1). При условии справедливости нулевой гипотезы F-статистика критерия имеет распределение Фишера с и степенями свободы. Критическое значение статистики находится по табл. 5 и 6 и определяется по формуле

.

Если , то гипотезу о незначимости модели следует принять, т.е. нет оснований отклонить эту гипотезу. Если , то гипотезу о незначимости следует отклонить.

m – число факторов в модели.

В рассматриваемом примере

F_факт.= , а F_табл.=5,59. Таким образом, F_факт.> F_табл. и принимается гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Экономическое прогнозирование Под прогнозированием в эконометрике понимается построение оценки будущего значения зависимой переменной при заданном значении независимой переменной . Прогнозируемое значение обозначим и будем называть его индивидуальным значением зависимой переменной. Наряду с решением этой задачи нас будет интересовать также проблема оценивания среднего значения зависимой переменной в этих же условиях. Это значение обозначим .

Задача прогнозирования разрешима в рамках следующей модели наблюдений:

При этом предполагается, что результаты наблюдений удовлетворяют классическим предположениям. С содержательной точки зрения это означает, что условия, в которых осуществляется прогноз, совпадают с условиями, в которых осуществлялись имеющиеся наблюдений.

Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае прогноз – некоторое число, во втором – интервал, в котором находится прогнозируемая величина с заданным уровнем надежности.

Точечный прогноз индивидуального и среднего значений зависимой переменной определяется статистикой

Интервальный прогноз среднего и индивидуального значений зависимой переменной определяется неравенствами:

,

,

где – стандартная ошибка оценки среднего значения зависимой переменной определяется по формуле

.

– стандартная ошибка оценки индивидуального значения зависимой переменной определяется по формуле:

.

Продолжим рассмотрение нашего примера. С доверительной вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака, если факторный признак увеличится на 5% от своего среднего значения. Построим точечный прогноз при =1,05 =1,05*6080,6, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Точечный прогноз дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения. .

Задача 2 составлена по теме «Классическая обобщенная линейная модель множественной регрессии» и предполагает построение и анализ двухфакторного уравнения линейной регрессии вида:

Расчет параметров такого уравнения множественной регрессии (пункт 1) осуществляется обычным МНК c помощью Пакета анализа MS Excel. Поясните экономический смысл коэффициентов регрессии и : это показатели силы связи, характеризующие абсолютное (в натуральных единицах измерения) изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии второго фактора.

Пункты 2, 3 и 4 связаны с расчетом и анализом относительных показателей силы связи в уравнении множественной регрессии – частных коэффициентов эластичности и стандартизованных коэффициентов регрессии.

Пункт 6 предполагает ознакомление с методикой дисперсионного анализа по модели множественной регрессии.

Задача 3 составлена по теме «Системы эконометрических уравнений». Для ее выполнения необходимо ознакомиться со следующими понятиями:

Система одновременных уравнений — это система эконометрических уравнений (эконометрическая модель), содержащая взаимозависимые переменные, которые включены в одно из уравнений модели в качестве результативного признака, а в другие уравнения - в качестве факторного признака.

Примером системы одновременных уравнений может служить следующая гипотетическая модель:

где — случайные ошибки.

Эндогенные переменные — это взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы). Как правило, каждое уравнение модели определяет одну эндогенную переменную, стоящую в левой части уравнения. Таким образом, число уравнений в системе равно числу эндогенных переменных.

Экзогенные переменные — это независимые переменные, которые определяются вне системы. В приведенной выше системе одновременных уравнений и являются эндогенными, a и — экзогенными переменными.

Предопределенные переменные — это экзогенные и лаговые (за предшествующие промежутки или моменты времени) эндогенные переменные системы.

Структурная форма модели — это система уравнений, отражающая взаимосвязь между переменными в соответствии с положениями экономической теории и характеризующая структуру экономики или ее сектора. Параметры структурной формы модели называют структурными параметрами (в приведенной выше системе это параметры .Если модель содержит тождества, то без потери общности их можно назвать уравнениями, в которых структурные параметры при переменных равны 1.

Приведенная форма модели — это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределенных переменных модели.

Структурные параметры системы одновременных уравнений нельзя определить обычным МНК, так как правая часть системы одновременных уравнений содержит эндогенные переменные В этом случае была бы нарушена предпосылка о причинно-следственной зависимости между факторным и результативным признаками, а также ряд других предпосылок обычного МНК. Наиболее распространенными методами расчета структурных параметров системы одновременных уравнений являются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов

Косвенный МНК состоит в следующем:

(а) Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.

(б) Путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные опенки структурных параметров.

Двухшаговый МНК состоит в следующем:

(а) Составляют приведенную форму модели и определяют численныезначения ее параметров обычным МНК.

(б) Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят их расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

(в) Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Возможность применения косвенного или двухшагового МНК для оценки структурных параметров уравнения модели зависит от того, можно ли однозначно выразить структурные параметры через приведенные коэффициенты модели. Данную проблему называют проблемой идентификации. Если структурные параметры уравнения модели однозначно определяются по приведенным коэффициентам, то говорят, что данное уравнение точно идентифицировано. Структурные параметры такого уравнения можно найти косвенным МНК. Если из приведенной формы модели можно получить несколько оценок структурных параметров, то говорят, что уравнение сверхидентифицировано. Структурные параметры такого уравнения определяются двухшаговым МНК. Если структурные параметры уравнения модели нельзя найти через приведенные коэффициенты, то такое структурное уравнение называется сверхидентифицируемым, и численные оценки его найти нельзя.

Чтобы определить, идентифицировано ли структурное уравнение модели, применяют так называемое порядковое условие идентификации. Для этого по каждому уравнению и модели в целом подсчитывают:

K — число предопределенных переменных модели;

k — число предопределенных переменных в каждом уравнении;

m — число эндогенных переменных в каждом уравнении.

Далее для каждого уравнения в отдельности проверяют следующее соотношение:

K - k * m - 1.

Если это соотношение имеет знак больше ( K - k > m - 1 ), то уравнение сверхидентифицировано.

Если это соотношение имеет знак равно ( K - k = m - 1 ), то уравнение точно идентифицировано.

Если это соотношение имеет знак меньше ( K - k < m - 1 ), то уравнение неидентифицировано.

Примете во внимание, что нет необходимости исследовать на идентификацию тождества модели, поскольку их структурные параметры известны и равны 1. Однако переменные, входящие в тождества, учитываются при подсчете числа эндогенных и предопределенных переменных модели.

Пример. Пусть имеется следующая эконометрическая модель:

Функция потребление:

Функция инвестиций:

Функция заработной платы:

Тождество дохода:

где C_t- расходы на конечное потребление в период t; Y_t, Y_{t-1 —} совокупный доход в периоды t, t-1 соответственно; I_t—валовые инвестиции периода t; S_t — расход на зарплату в период t; G_t— государственные расходы в году t; u₁, u₂, u_{3 —} случайные ошибки.

Данная модель представляет собой систему одновременных уравнений, так как она содержит взаимозависимые переменные. Проверим выполнение порядкового условия идентификации для каждого уравнения модели пункт 1 задачи 3. В модели 4 эндогенных переменных, находящиеся в левой части каждого из уравнений. Это переменные: C_t,I_t,S_t,Y_t . остальные 2 переменные модели t и G_t — это экзогенные переменные. Кроме того, модель содержит лаговую эндогенную переменную Y_t-1 . Таким образом, общее число предопределенных переменных модели K = 3 .

Для первого уравнения m = 3 (в него входят эндогенные переменные C_t,I_t,S_t ), k = 1 (уравнение включает одну предопределенную переменную t ). Имеем: K - k = 3 - 1 = m - 1 = 3 - 1,

Следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Для второго уравнения: m = 1 (I_t),k = 1 (Y_t-1) . Имеем:

K - k = 3 - 1 = 2 > m - 1 = 1 - 1 = 0,

Следовательно, второе уравнение сверх идентифицировано.

Для третьего уравнения: m = 2 (S_t,Y_t),k = 1 (Y_t-1) . Имеем:

K - k = 3 - 1 = 2 > m - 1 = 2 - 1 = 1,

Следовательно, третье уравнение сверх идентифицировано. Последнее уравнение модели представляет собой тождество, его не надо проверять на идентификацию. Приведенная форма модели пункт 2 имеет вид:

C_t = A_0 + A_1 Y_t-1 + A_2 G_t + A_3 t + \nu_1

I_t = B_0 + B_1 Y_t-1 + B_2 G_t + B_3 t + \nu_2

S_t = D_0 + D_1 Y_t-1 + D_2 G_t + D_3 t + \nu_3

Y_t = E_0 + E_1 Y_t-1 + E_2 G_t + E_3 t + \nu_2

Через заглавные буквы A,B,D,E обозначены приведенные коэффициенты модели v_1,v_2,v_3,v_4 — случайные ошибки (обозначения выбраны произвольно).

Следовательно, пункт 3, параметры первого уравнения модели можно оценить косвенным МНК. Для этого:

1) определим обычным МНК параметры каждого из уравнений приведенной формы модели;

2) выразим зависимость C_t = a_0 + a_1 Y_t + a_2 S_t + a_3 t + u_1 из приведенной формы модели.

Порядковое условие показало, что второе уравнение модели сверхидентифицировано. Однако заметим, что правая часть этого уравнения не содержит эндогенных переменных. Поэтому нарушения предпосылок обычного МНК не происходит, и параметры данного уравнения можно оценивать обычным МНК.

Третье уравнение модели сверхидентифицировано. В его правой части содержится эндогенная переменная Y_t , что приводит к нарушению предпосылок обычного МНК. Чтобы найти структурные параметры этого уравнения:

1) определим обычным МНК параметры четвертого уравнения приведенной формы модели;

2) найдем расчетные значения переменной Y_t :

Y_t = E_0 + E_1 Y_t-1 + E_2 G_t + E_3 t

3) Определим обычным МНК параметры третьего структурного уравнения, используя при построении системы нормальных уравнений данные о фактических значениях факторного признака Y_t-1 и результата S_t , а также данные о расчетных значениях факторного признака Y_t .

Задачи 4 и 5 посвящены теме «Модели стационарных и нестационарных временных рядов», и прежде всего проблеме автокорреляции уровней временного ряда и ее последействиям, а также наличию во временном ряде тенденции.

Временные ряды применяются для прогнозирования экономических показателей. При этом имеют ввиду кратко- и среднесрочные прогнозы, так как долгосрочные прогнозы требуют обязательного применения методов анализа специальных экспертных оценок.

Такие прогнозы нужны для:

• планирования в экономике, производстве, торговле;

• управления и оптимизации социально-экономических процессов;

• управления важными параметрами демографических процессов в экологии;

• принятия оптимальных решений в бизнесе.

Временной ряд отличается по своим свойствам от последовательности наблюдений х₁, х₂,…,х_n, образующих случайную выборку, так как 1) члены временного ряда не являются статистически независимыми; 2) они не являются одинаково распределенными.

Основные факторы, формирующие значения членов временного ряда делятся на:

а) долговременные. Они формируют общую тенденцию изменений переменной x(t). Эта тенденция может быть описана функцией – трендом

b) сезонные. Они формируют периодически повторяющиеся в определенное время года колебания переменной x(t). Это воздействие может быть описано периодической функцией S(t) тригонометрического вида.

с) циклические (конъюнктурные). Они формируют изменения переменной x(t), обусловленные действиями долговременных циклов экономической, демографической, астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические ямы, циклы солнечной активности).

d) случайные. Их воздействие обусловливает стохастическую (случайную) природу переменных x(t). Результат воздействия этих факторов обозначим с помощью случайных величин (остатков, ошибок). Они отражают влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Первые три составляющие компоненты являются закономерными (неслучайными).

В процессе формирования временного ряда не обязательно участвуют одновременно все эти факторы. Однако во всех случаях участие случайных факторов имеет место.

Основная цель регрессионного анализа – выявить систематические компоненты и оценить характер нерегулярности в случайной компоненте. Теорию ошибок можно применить для оценки адекватности эконометрической модели только в том случае, когда случайная компонента нерегулярна.

Рассматриваем процесс y_t= u_t + v_t + e_t.

1. Графически представить и описать поведение временного ряда

2. Выявить временной тренд

3. Доказать отсутствие сезонных (циклических) колебаний и зависимости последующего уровня ряда от предыдущих, либо произвести их адекватный учет

4. Сгладить временной ряд (удаление низко- или высоко-частотных составляющих временного ряда)

5. Исследовать случайную составляющую временного ряда, построить и проверить адекватность математической модели для ее описания. Выявить автокорреляцию во временном ряду

6. Прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда

7. Исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Приступая к решению пункта 1 задачи 4, изучите вопрос об изменении автокорреляции уровней временного ряда. При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущего (сдвиг на один временной интервал), предпредыдущего (сдвиг на два временных интервала) и т.д. уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду.

Коэффициент автокорреляции первого порядка – линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями того же ряда, сдвинутыми на один момент времени. Его расчет производится по стандартным формулам для расчета линейного коэффициента корреляции для пар наблюдений в моменты t и t-1, причем общее число пар наблюдений равно n-1. Если он близок к единице, то можно выявить наличие во временном ряде тенденции, т.е. высокая теснота связи между текущим и непосредственно предшествующим уровнями временного ряда.

Коэффициент автокорреляции порядка можно определить по формуле:

При расчете лаг выбирают из соотношения n/4.

2 важных свойства коэффициента автокорреляции:

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между предыдущими и текущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

• Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.

• Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в  моментов времени.

• Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать следующие предположения:

  • ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру случайной компоненты.

  • ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

В пункте 2 требуется определить функциональную форму и найти параметры математического уравнения, наилучшим способом описывающего тенденцию, или тренда.

Существует несколько способов определения типа тенденции:

• качественный анализ изучаемого процесса,

• построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени

• расчет некоторых основных показателей динамики,

• расчет коэффициентов автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда:

  • если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни тесно коррелируют; в этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким.

  • если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряду, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

Для расчета параметров уравнения тренда примените обычный МНК (значения независимой переменной t , как правило, принимаются равными 1,2,3,... ). В случае нелинейных зависимостей проведите ленеаризацию исходной функции. Дайте интерпретацию параметров тренда.

Коэффициент регрессии b в линейном тренде есть средний за период цепной прирост уровней ряда. В экспоненциальной функции величина (e^b) представяет собой средний за период цепной темп роста уровней ряда. Начальный уровень ряда в момент (период времени) 0 в линейном тренде выражается параметром a, в экспоненциальном тренде — величиной e^a .

Пример. По следующим данным (1;213), (2;171), (3;291), (4;309), (5; 317), (6; 362), (7; 351), (8, 361), где первый элемент пары – это номер года, а второй – спрос, найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов, равных 1 и 2) и частный коэффициент автокорреляции первого порядка. Определить уравнение тренда для временного ряда, полагая тренд линейным.

Решение. Среднее значение равно (ед.). Дисперсия равна ; (ед.).

Найдем коэффициент автокорреляции r(t) временного ряда:

yt	213	171	291	309	317	362	351
Yt+	171	291	309	317	362	351	361

Вычислим необходимые суммы:

Теперь найдем коэффициент автокорреляции r(1)=0,725; r(2)=0,842. Коэффициента автокорреляции 1-го порядка для лага =2 (2)=0,842. Для нахождения уравнения тренда определим

Теперь найдем

Из системы нормальных уравнений находим =181,32; =25,679 и уравнение тренда будет таким:

, т.е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед. Проверка по критерию Фишера показала, что уравнение тренда значимо.

Пункт 3. Точечный прогноз в уравнении тренда — это расчетное значение переменной , полученное путем подстановки в уравнение тренда значений t = n + 1 и т.д. Интервальный прогноз рассчитывается в соответствии с методикой, изложенной для уравнения парной линейной регрессии (см. указания к п.5 задачи 1). Например, по данным предыдущей задачи, найти точечный прогноз на 9-й год и интервальную оценку прогноза среднего значения спроса.

Решение. В уравнение регрессии подставим t=9 =412,4 (ед.) и найдем точечный прогноз.

Для нахождения интервальной оценки прогноза вычислим t_табл.(0,95; 6)=2,45 и по формуле получим 346,9у(ср.(9))477,9 (ед.). Таким образом, с надежностью 95% среднее значение спроса на товар на 9 год будет заключено в интервале от 346,9 до 477, 9 единиц.

В задаче 5 исследуется специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов.

1. на предварительном этапе анализа временных рядов нужно выявить: содержат или нет ряды сезонные и циклические колебания. Если да, то необходимо устранить сезонную или циклическую компоненты из уровней каждого ряда, поскольку их наличие приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержат только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых рядах различна. В дальнейшем будем предполагать, что изучаемые временные ряды не содержат периодических колебаний.

2. Для количественной характеристики зависимости между временными рядами используется линейный коэффициент корреляции. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким. Но из этого еще нельзя сделать вывод о причинно- следственной связи между рядом Х и рядом У. Высокий коэффициент корреляции в данном случае будет потому, что х и у зависят от времени или содержат тенденцию. Пример: коэффициент корреляции между численностью выпускников ВУЗов и числом домов отдыха с 1970 по 1990 год составил 0,8.

Для того, чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от ложной корреляции, которая вызвана наличием тенденции в каждом ряду.

Наличие тенденции в каждом из временных рядов означает, что на зависимую переменную у и независимую переменную х оказывает воздействие фактор времени, который в модели непосредственно не учтен. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков за текущий и предыдущий моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».