2 Алгебра логики

Формула алгебры логики – это сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.

Пример. .

Правила записи формулы.

1. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий:

а) конъюнкция выполняется раньше, чем остальные операции;

б) дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность.

2. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки опускаются.

3. Количество открывающих скобок должно быть равно количеству закрывающих.

Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется результатом логических операций над значениями входящих в нее элементарных высказываний.

Таблица истинности позволяет полностью описать все возможные значения любой формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний.

Таблица 9 – Таблица истинности высказывания

Аргументы			Результат
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Основные равносильности:

,

,

,

,

,

,

– закон противоречия,

– закон исключения третьего,

– закон снятия двойного отрицания,

,

.

Задача 1. Дано выражение . Построить таблицу истинности и комбинационно-логическую схему.

Таблица 10 – Таблица истинности высказывания

Аргументы			Результат
							y
0	0	0	1		0	0	0
0	0	1	1		0	1	1
0	1	0	1		0	0	0
0	1	1	1		0	1	1
1	0	0	0		0	0	0
1	0	1	0		0	0	0
1	1	0	0		1	0	1
1	1	1	0		1	0	1

Рисунок 7 – Логическая схема для выражения

Задача 2. Дано выражение . Построить таблицу истинности и комбинационно-логическую схему.

Таблица 11 – Таблица истинности высказывания

Аргументы			Результат
						y
0	0	0	1	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0
0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	1	1	1

Рисунок 8 – Логическая схема для выражения

Задача 3. Дано выражение . Построить таблицу истинности и комбинационно-логическую схему.

Таблица 12 – Таблица истинности высказывания

Аргументы			Результат
						y
0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1
0	1	0	1	1	1	0
0	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	0
1	0	1	0	1	1	0
1	1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1

Рисунок 9 – Логическая схема для выражения

Операцию инверсии можно реализовать с помощью элементов И-НЕ.

Рисунок 10 – Реализация операции на основе элемента И-НЕ

Схема (см. рисунок 9), построенная на основе однотипных элементов, примет следующий вид (рисунок 11).

Рисунок 11 – Логическая схема для выражения , состоящая из однотипных элементов

Задача 4. Дано выражение . Построить таблицу истинности и комбинационно-логическую схему.

Таблица 13 – Таблица истинности высказывания

Аргументы			Результат
						y
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0	1
0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	1

Рисунок 12 – Логическая схема для выражения

Задания на самостоятельную работу.

Задача 1. Построить таблицу истинности и логическую схему.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

Задача 2. Построить таблицу истинности и логическую схему.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

Задача 3. Построить таблицу истинности и логическую схему.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

Задача 4. Построить таблицу истинности и логическую схему.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38.