6. Составить уравнения плоскостей, которые проходят:

а) через три точки A(1; 0; –3), B(0; –1; 3), C(–2; 8; 0);

б) через точку A(1; 0; –3) перпендикулярно прямой = = ;

в) через точку B(0; –1; 3) параллельно двум векторам = {-4; 6; 1} и = {0; -1; 3};

г) через точку C(–2; 8; 0) и отсекает на координатных осях равные по величине и по знаку отрезки.

Решение. а) запишем уравнение плоскости по трем точкам

=0

и подставим заданные по условию задачи точки:

= 0, = 0.

Вычислим определитель, разлагая его по первой строке:

= (x-1) - y + (z+3) =

(-3 – 48) -y(-3+18) + (z+3)(-8-3) = -51(x-1) -15y +(z+3)(-11) =

+51 -15y -11z – 33 = -51x -15y -11z +18 = 0.

Получили общее уравнение плоскости в координатной форме. Можно раскрыть скобки и получить общее уравнение плоскости:

-51x -15y -11z +18 = 0.

б) плоскость перпендикулярна прямой, значит ее вектор нормали является направляющим вектором прямой = {2; -1; -3}. Запишем общее уравнение плоскости в координатной форме

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) =0,

подставим данные нашей задачи: M₀(x₀; y₀; z₀) = A(1; 0; –3), = {A; B; C} = {2; -1; -3} и получим общее уравнение плоскости в координатной форме:

2(x-1) –y -3(z+3) = 0.

в) сделаем схематический рисунок: искомая плоскость L, векторы и параллельны плоскости. Так как это свободные векторы, расположим их на плоскости (рис. 3.11). Вектор нормали плоскости ﬩ L => ﬩ , ﬩ одновременно. По определению векторного произведения

[ ] ﬩ , [ ] ﬩ одновременно.

Следовательно, = [ ]. Вычислим векторное произведение [ ].

= [ ] = = - + = 19 +12 +4 => = 19 +12 +4 . Подставляем заданную точку B(0; –1; 3) и найденный вектор в общее уравнение плоскости в координатной форме и получаем ответ:

19x+12(y+1) +4(z-3) = 0.

г) запишем уравнение плоскости в отрезках, при условии, что отсекаемые отрезки равны:

x + y + z = a. Следовательно, вектор нормали искомой плоскости = {1; 1; 1} или = {-1; -1; -1}. Запишем общее уравнение плоскости в координатной форме с заданной точкой C (–2; 8; 0) и вектором нормали = {1; 1; 1}:

(x +2) + (y-8) +z = 0.

Раскроем скобки, выразим x + y + z и найдем а:

x + y + z = 6 => = {1; 1; 1}.

Таким образом, уравнение искомой плоскости

(x +2) + (y-8) +z = 0.

7. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

а) через точку M₀ (0; 3; -1) параллельно вектору = {0; -1; 3};

б) через две точки M₀ (0; 3; -1) и M₁ (2; –3; –2);

в) через точку M₀ (0; 3; -1) в направлении, которое составляет с осями координат Ox и Oy углы α = 120° и β= 30°, соответственно;

г) через точку M₀ (0; 3; -1) перпендикулярно плоскости x + y - z + 20 = 0;

д) заданной в общем виде .

Решение.

а) запишем каноническое уравнение прямой

= =

и подставим данные задачи: M₀ (x₀, y₀, z₀) = M₀ (0; 3; -1), = = {0; -1; 3}.

= = .

В уравнении прямой ноль в знаменателе – символическая запись, которая обозначает не деление на ноль, а координату направляющего вектора.

б) запишем уравнение прямой по двум точкам

= =

и подставим данные задачи M₀ (0; 3; -1) и M₁ (2; –3; –2);

= = .

в) найдем координаты направляющего вектора = {cosα; cosβ; cosγ}

исходя из основного тригонометрического тождества:

+ + = 1 =>

+ + = 1

0,25 + 0, 75 + = 1 => = 0. Таким образом, координаты направляющего вектора = { ; ; 0}.

Таким образом, можно записать каноническое уравнение прямой:

= = или = = .

г) направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости, совпадает с вектором нормали этой плоскости. Тогда из уравнения данной плоскости можно найти = = {1; 1; -1}

= = .

д) сделаем схематический рисунок (рис. 3.12).

Общий вид прямой представляет собой пересечение двух плоскостей. По общим уравнениям плоскостей можно записать их векторы нормалей:

= {-1; 3; 2}, = {2; -8; 1}. Векторы нормалей перпендикулярны прямой, образованной пересечением плоскостей, следовательно, ее направляющий вектор может быть найден как векторное произведение и :

= [ ] = = - + = 19 +5 +2 .

Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой – решим ее систему:



Запишем каноническое уравнение прямой:

= = .

8.Найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью -2y+z+2 = 0.

Решение. Рассмотрим плоскость с вектором нормали и прямую с направляющим вектором (рис. 3.13).

Найдем угол α: α = – β. Тогда cos β = cos ( – α) = sin α.

Таким образом,

sin α = cos β = =>

По виду уравнений прямой и плоскости записываем {0; -2; 1}, {-1; 2; 3} и вычисляем угол между прямой и плоскостью:

sin α = = => α = arcsin ( ).

Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого подставим выражения x, y, z в уравнение плоскости, (другими словами решим совместно уравнение прямой и плоскости):

-2(2t+4) + 3t + 2 = 0 =>

-4t -8 +3t + 2 = 0 =>

t = -6. Вернемся к переменным x, y, z и вычислим координаты точки пересечения прямой и плоскости:

.

9. Определить тип поверхности и построить ее.

а) + 2x + + 2y + +2z = 0, б) - + = 0