X1, x2, x3, x4 оставим в левой части уравнений, а x5 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:

x1

=

-

x5

+

23 3

x2

=

x5

-

34 3

x3

=

-

x5

+

17 3

x4

=

1 3

x₅ - свободная переменная.

6. Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:

Однородная система уравнений всегда совместна, т.к. ее расширенная и основная матрица совпадают (столбец свободных членов равен нулю), следовательно, она всегда имеет решение. Очевидно, x1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 0 – решение системы. Такое решение называется тривиальным. Наша задача – найти нетривиальные решения.

Сформируем расширенную матрицу :

1 -1 -2 -1      0 2 1 1 1      0 1 1 0 -3      0

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на 2:

1 -1 -2 -1      0 0 3 5 3      0 1 1 0 -3      0

Вычтем из строки 3 строку 1:

1 -1 -2 -1      0 0 3 5 3      0 0 2 2 -2      0

Разделим строку 2 на 3:

1 -1 -2 -1      0 0 1 5 3 1      0 0 2 2 -2      0

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на 2:

1 -1 -2 -1      0 0 1 5 3 1      0 0 0 -4 3 -4      0

Разделим строку 3 на :

1 -1 -2 -1      0 0 1 5 3 1      0 0 0 1 3      0

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на :

1 -1 -2 -1      0 0 1 0 -4      0 0 0 1 3      0

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на -2:

1 -1 0 5      0 0 1 0 -4      0 0 0 1 3      0

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на -1:

1 0 0 1      0 0 1 0 -4      0 0 0 1 3      0

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x1

+

x4

=

0

x2

-

4

x4

=

0

x3

+

3

x4

=

0

x₁, x₂, x₃ оставим в левой части уравнений, а x₄ перенесем вправо.

Окончательный вид системы следующий:

x1

=

-

x4

x2

=

4

x4

x3

=

-

3

x4

x₄ - свободная переменная =>

X= С.

Индивидуальное домашнее задание № 2

1. Определить координаты точки C на отрезке AB, если А(–1; 0; 2), В(4; 5; 7) и | AC |:| AB | = 3:5.

Решение. Рассмотрим прямую, на которой расположены точки ABC в заданном соотношении (рис. 2.1).

Построим векторы AC и CB и заметим, что они коллинеарны. Поэтому, воспользуемся свойством коллинеарных векторов (с учетом их направления).

= λ (2.1)

По условию задачи = , значит λ = . Таким образом, условие деления отрезка в заданном отношении в векторной форме имеет вид:

= (2.2)

Обозначим координаты искомой точки С(x; y; z), найдем координаты векторов и .

= {х +1; у; z – 2},

= {4-х; 5-у; 7-z} и запишем формулу (2.2) в координатной форме:

.

Решаем систему уравнений:

  .

Таким образом С ( ; ; ).