Построить кривые, заданные в полярных координатах:
а)
ρ = - sin
(φ
+
);
б) ρ = sin
3φ
.
Найти их уравнения в прямоугольных координатах при условии, что начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительная ось абсцисс – с полярной осью.
Решение.
а) построим таблицу значений аргумента
-
φ =
- π/6
0
π/6
π/3
5π/6
7π/6
8π/6
9π/6
11π/6
φ +
0
π/6
π/3
π/2
π
4π/3
3π/2
5π/3
2π
ρ
0
-0,5
-
/2-1
0
/2
1
- /2
0
б) кривая ρ = sin 3φ называется трехлепестковая роза, т.к. на плос- кости трижды повторяются замкнутые кривые, подобные лепесткам. Построим таблицу значений аргумента:
-
φ
0
π/18
π/12
π/9
π/6
5π/18
π/3
π/2
2π/3
ρ
0
1/2
/2/2
1
1/2
0
-1
0
выберем полюс О, проведем полярную ось горизонтально. Это соответствует φ = 0. Все остальные углы будем откладывать от него против часовой стрелки (рис. 3.8).
на лучах для каждого φ отложим от полюса О вычисленное значение ρ
для отрицательных значений ρ расстояние от полюса откладываем в противоположном направлении (они совпадут с точками других лепестков).
соединяем все точки плавной линией.
далее, через 2 π/3 рад. поведение кривой будет периодически повторяться. В результате на плоскости 0≤ φ≤ 2 π появятся еще 2 лепестка. Получим уравнение кривой в декартовой системе координат. Выразим sin 3φ через sin φ:
ρ
= sin
3φ
= 3 sin
φ
– 4
φ
Используем формулы (3.1) предыдущей задачи и подставим их в данное выражение:
=
3
- 4
=>
=
3y
- 4
=>
= 3y - .
Построить кривые, заданные параметрическими уравнениями:
а)
б)
.
Решение.
а) построим таблицу значений параметра t и вычислим соответствующие значения функций x и y. Значения t достаточно взять от 0 до π/2, т.к. все остальные точки можно достроить из соображений симметрии четной функции cos t и нечетной функции sin t.
-
t
0
π/6
π/4
π/3
π/2
x
2
1
0
y
0
1
2
На плоскости в декартовой системе поставим точки, соответствующие вычисленным парам координат (x; y). Получим часть кривой в I четверти. В остальных четвертях точки будут располагаться симметрично относительно осей Ох и Oy. Таким образом, получили кривую – окружность.
б) построим таблицу значений параметра t и вычислим соответствующие значения функций x и y.
Таким образом получим кривую:
