Доказать, что четыре точки а(1; –1; 2), b(2; –5; 7), c(6; –21; 27), d(–1; 7; 8) лежат в одной плоскости.
Решение.
Задача
сводится к проверке условия компланарности
трех векторов
,
:
три вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда их смешанное
произведение равно нулю. Построим
векторы
,
и найдем их координаты:
= {2 – 1; -5 – (-1); 7 - 2} = {1; -4; 5},
= {6 – 1; -21 – (-1); 27- 2} = {5; -20; 25},
= {-1 – 1; 7 – (-1); 8 – 2} = {-2; 8; 6}.
Вычислим смешанное произведение векторов , в координатной форме. Для этого составляем определитель третьего порядка, строками которого являются координаты векторов , . Разлагая определитель по первой строке, получаем:
,
)
=
=
+ 4∙
+ 5∙
=
-320 +320 +0 = 0.
Таким образом, мы получили, что смешанное произведение трех векторов равно нулю
, ) = 0,
следовательно, условие компланарности выполняется и векторы , лежат в одной плоскости, следовательно, и точки, которые задают векторы, также лежат в одной плоскости.
Единичный вектор
параллелен вектору
= {3; -4; 4} и образует с осью Oy острый угол.
Найти координаты вектора
.
Решение: Пусть неизвестный вектор имеет координаты {x, y, z}. Так как заданный вектор единичный, то x ²+y ²+z ² = 1. Условие, что он образует острый угол с осью Оу означает, что у>0. Если заданный вектор параллелен вектору = {3; -4; 4}, то по условию коллинеарности векторов их векторное произведение равно нулевому вектору:
[
,
]
=
=
= 0
+ 0
+ 0
.
Найдем векторное произведение векторов и :
[
,
]
=
(4y
+ 4z)
+ (3z – 4x)
+ (-4x – 3y)
.
Тогда:
=>
+
+
= 1
=
1
41 = 16
=
.
Так как по условию у>0,
то
y
=
.
=> z
=
,
x
=
.
Запишем окончательный вид искомого
вектора
:
( ; ; ).
Даны векторы = {-1, 3, -3} и = 2i + 2k. Найти вектор перпендикулярный к ним, если модуль вектора равен площади треугольника, построенного на и .
Решение.
По
свойству скалярного произведения для
двух перпендикулярных векторов (
= 0. Обозначим координаты искомого вектора
= {x,
y,
z}
и запишем условие перпендикулярности
векторов
и
в координатной форме:
(
)
= -x
+ 3y
– 3z
= 0,
(
)
= 2x
+ 2z
= 0.
Площадь треугольника, построенного на и можно вычислить по формуле:
S
=
[
]|.
Найдем векторное произведение векторов
и
:
[
,
]
=
= 6
- 4
- 6
= {6, -4, -6}.
Найдем модуль векторного произведения:
[
]|
=
=
.
Следовательно,
|
=
=>
+
+
= 88.
Получим систему уравнений:
Получим:
=
88
= 36
x = ±6.
Тогда
получим:
{-6,
4, 6} или
{6,
-4, -6}.
Даны вершины пирамиды А(0; –1; –1), B(–2; 3; 5), C(1; –5; –9), D(–1; – 6; 3). Найти объём пирамиды и длину её высоты, опущенной на грань ABC.
Решение. Выполним схематический чертеж пирамиды с вершинами ABCD (рис. 2.3).
Построим векторы , . Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения:
V
=
|
,
)
|.
Найдем координаты векторов , :
= {-2, 4, 6}
{1,
-4, -8}
= {-1, -5, 4}.
Вычислим смешанное произведение векторов , координатной форме. Для этого составляем определитель третьего порядка, строками которого являются координаты векторов , .
,
)
=
=
- 4∙
+ 6∙
=
112 +16 - 54 = 84
Подставим значение смешанного произведения в формулу для вычисления объема пирамиды, получим:
V
=
= 14.
Для того, чтобы найти высоту пирамиды h, воспользуемся известной формулой объема пирамиды:
V
=
hS
h
=
,
где S – площадь основания ABC, может быть найдена как половина модуля векторного произведения векторов – сторон и .
S
=
[
]|.
Вычислим
векторное произведение
в координатной форме:
[
]
=
= -8
- 10
+ 4
= {-8, -10, 4}.
Найдем модуль:
[
]|
=
=
=
Вычислим площадь основания ABC:
S
=
=
.
Теперь найдем высоту пирамиды h:
h
=
=
.
Относительно некоторого базиса , , заданы векторы
,
,
= {13,2,7},
а)
докажите, что векторы
можно принять за новый базис;
б) найдите координаты вектора в базисе .
Решение. а) докажем, что векторы образуют базис. Для этого достаточно установить их линейную независимость. Поскольку векторы однозначно определяются своими координатами в базисе , , то исследование проведем, определив ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов в базисе , , . Используя метод элементарных преобразований, приведем матрицу к трапециевидной форме:
~
Определитель преобразованной матрицы равен произведению диагональных элементов 1≠0. Следовательно, это ее базисный минор, и ранг матрицы равен 3, что означает линейную независимость ее строк, или, что тоже самое, линейную независимость векторов . Значит, они образуют базис.
б) найдем координаты вектора в этом базисе. Согласно теореме о разложении вектора по базису, любой вектор в пространстве может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е.
=
x
+ y
+ z
.
Т. к. линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциями над их одноименными координатами, запишем это выражение в координатной форме и получим систему уравнений:
,
которую решим методом Гаусса.
Сформируем расширенную матрицу :
|
|
|
|
Разделим строку 1 на 5:
|
|
|
|
В
ычтем из строки 2 строку 1:
|
|
|
|
Разделим
строку 2 на
:
|
|
|
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на 3:
|
|
|
Разделим
строку 3 на
:
|
|
|
Вычтем
из строки 2 строку 3 умноженную на
:
|
|
|
Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на :
|
|
|
Вычтем
из строки 1 строку 2 умноженную на
:
|
|
|
|
Ранг расширенной матрицы равен рангу основной = 3, следовательно, система совместно и существует только одно ее решение.
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
= |
- |
4 |
|
Заданная система уравнений имеет единственное решение:
|
x1 |
= |
3 |
|
|
x2 |
= |
1 |
|
|
x3 |
= |
- |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Получаем, что разложение вектора по базису имеет вид:
=
+
– 4
.
Индивидуальное домашнее задание № 3.