4. Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса. Сделать проверку.

Решение. Запишем уравнение в матричной форме:

А∙ Х = В,

где А = , Х = , В = .

а) для отыскания неизвестных х₁, х₂, х₃ используем формулы Крамера:

х₁ = , х₂ = , х₃ = ,

где Δ – определитель основной матрицы А, Δ₁ – определитель, полученный из основного заменой первого столбца на столбец свободных членов. Аналогично строятся определители Δ₂ и Δ₃ – второй и третий столбец основной матрицы заменяются на столбец свободных членов соответственно:

Δ₁ = , Δ₂ = , Δ₃ =

Вычислим все определители:

Δ₁ = = 4∙ - 1∙ + 1∙ = 8 + 12 – 8 = 12

Δ₂ = = 2∙ + 4∙ + 1∙ = 24 -20 + 2 = 6

Δ₃ = = 2∙ - 1∙ + 4∙ = 16 + 2 – 12 = 6.

Δ = = 2∙ - 1∙ + 1∙ = 4 + 5 -3 = 6.

Подставим полученные значения определителей в формулы Крамера:

х₁ = = , х₂ = = =1 , х₃ = = =1 .

Проверка: при подстановке найденного решения в систему уравнений, они должны обратиться в тождества:

Каждое уравнение обратилось в тождество, следовательно, решение Х = найдено верно.

б) из матричного уравнения А∙ Х = В выразим неизвестную матрицу Х, умножив обе части уравнения на слева:

∙ А∙ Х = ∙ В

Умножение любой матрицы на единичную не изменяет матрицы, поэтому решение уравнения будет находится как:

Х = ∙ В. (2)

Вычислим для А = .

= , (3)

где А_ij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам а_ij.

Определитель основной матрицы был найден был найден в предыдущем пункте задачи det А = 6.

А₁₁ = ∙ = 2; А₂₁ = ∙ = 2;

А₃₁ = ∙ = 0; А₁₂ = ∙ = -5;

А₂₂ = ∙ = 4; А₃₂ = ∙ = 3;

А₁₃ = ∙ = -3; А₂₃ = ∙ = 0;

А₃₃ = ∙ = 3.

Подставим в (3):

= .

Найдем решение (2):

Х = ∙ В = ∙ = = = .

Найденное решение совпадает с решением, полученным в пункте а).

в) вспомним, что суть метода Гаусса заключается в исключении неизвестных посредством эквивалентных преобразований системы уравнений. Но вместо системы уравнений в преобразованиях используют расширенную матрицу системы (прямой ход Гаусса). После приведения матрицы к трапециевидной форме возвращаются к системе уравнений и находят все неизвестные (обратный ход Гаусса). Элементарные преобразования:

– перестановка строк;

– умножение строки на любое число отличное от нуля;

– линейная комбинация строк;

– вычеркивание нулевых строк.

Запишем расширенную матрицу системы и получим два нуля в каком-либо столбце:

à = ~ II + I ~ III-3I

~ .

Получили матрицу трапециевидной формы (не обязательно она будет похожа на трапецию, главное: в одном столбце нулей нет, в другом – один нуль, в третьем – два). Это позволяет сделать вывод, что в матрице нет линейно-зависимых строк. Максимальный порядок отличного от нуля минора основной матрицы равен трем, следовательно,

rang Ã= rang A, ⇒

система совместна; rang A =3 = n, где n – число неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение. Выполним обратный ход Гаусса: вместо преобразованной расширенной матрицы запишем систему уравнений:

 

   

Таким образом, очередной раз получили решение системы линейных уравнений Х = , совпадающее с полученными в пунктах а) и б).