Решение.

1. запишем характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

A - λE = ,

| A - λE | = (2-λ) + + 2 =

(2-λ) ( ( ) + (-10 -5λ +3) +2 (-3-λ) = - ( ( 4 - ) -7 - 5λ -6 - 2λ = (3 + λ) (4 - ) -13 -7 λ = 12 - 3 + 4λ - -13 - 7 λ = - - 3 - 3λ – 1 =0.

- - 3 - 3λ – 1 =0.

-3 λ ( λ +1) – ( + 1) =0

( λ +1) ( + λ +1 -3 λ) = 0

( λ +1) = 0

λ = -1; λ = 1

2) для каждого из найденных собственных значений λ_i запишем

систему линейных однородных уравнений (A - λ_iE)X = 0 и найдем ее фундаментальную систему решений. Это будут координаты базисных векторов (собственных векторов) собственного подпространства L_λi.

1. Для λ₁ = -1 имеем:

(A + E)X = ∙ = , =>

.

Решим систему уравнений методом Гаусса:

Сформируем расширенную матрицу :

3 -1 2      0 5 -2 3      0 -1 0 -1      0

Разделим строку 1 на 3:

1 -1 3 2 3      0 5 -2 3      0 -1 0 -1      0

Вычтем из строки 2 строку 1, умноженную на 5:

1 -1 3 2 3      0 0 -1 3 -1 3      0 -1 0 -1      0

Вычтем из строки 3 строку 1, умноженную на-1:

1 -1 3 2 3      0 0 -1 3 -1 3      0 0 -1 3 -1 3      0

Разделим строку 2 на -1/3:

1 -1 3 2 3      0 0 1 1      0 0 -1 3 -1 3      0

Вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на -1/3:

1 -1 3 2 3      0 0 1 1      0 0 0 0      0

Удалим нулевую строку. Вычтем из строки 1 строку 2, умноженную на -1/3:

1 0 1      0 0 1 1      0

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x1

+

x3

=

0

x2

+

x3

=

0

x₁, x₂ оставим в левой части уравнений, а x₃ перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:

x1

=

-

x3

x2

=

-

x3

x₃ - свободная переменная.

Например, полагаем x₃ = 1, тогда x₁ = -1, x₂ = -1. Следовательно, собственный вектор оператора, соответствующий собственному значению λ₁ = -1: с₁ = {-1; -1; 1}.

б) для λ₂ = 1 имеем:

(A - E)X = ∙ = , =>

.

Решим систему уравнений методом Гаусса:

Сформируем расширенную матрицу :

1 -1 2      0 5 -4 3      0 -1 0 -3      0

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на 5:

1 -1 2      0 0 1 -7      0 -1 0 -3      0

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на -1:

1 -1 2      0 0 1 -7      0 0 -1 -1      0

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на -1:

1 -1 2      0 0 1 -7      0 0 0 -8      0

Разделим строку 3 на -8:

1 -1 2      0 0 1 -7      0 0 0 1      0

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на -7:

1 -1 2      0 0 1 0      0 0 0 1      0

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на 2:

1 -1 0      0 0 1 0      0 0 0 1      0

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на -1:

1 0 0      0 0 1 0      0 0 0 1      0

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x1

=

0

x2

=

0

x3

=

0

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x1

=

0

x2

=

0

x3

=

0

Следовательно, собственный вектор оператора, соответствующий собственному значению λ₂ = 1: с₁ = {0; 0; 0}.

2. оператор диагонализируем, если совокупность базисов подпространств образует базис исходного пространства. А диагонализированная матрица оператора – это матрица оператора в базисе его собственных векторов. Из уравнения на собственные числа и собственные векторы

Ас₁ = λс₁

следует, что разложение оператора по базису собственных векторов будет иметь вид:

Ас₁ = λс₁ + 0∙ с₂ + 0∙ с₃

Ас₁ = 0∙с₁ + λ∙ с₂ + 0∙ с₃

Ас₁ = 0∙с₁ + 0∙ с₂ + λ∙ с_3.

Тогда диагонализированная матрица оператора – это диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали:

= .

55