Решение.

а) Приведем уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты:

+ 2x + + 2y + +2z = 0

+ 2x +1 – 1 + + 2y + 1 – 1 + +2z + 1 – 1 = 0

+ = 3

Получили уравнение сферы, где точка О(-1; -1; -1) – центр сферы, радиус = .

б) - + = 0

Перенесем в правую часть уравнения.

- = -

Получим уравнение, где точка О(0, 0, 0) – вершина конуса.

Индивидуальное домашнее задание № 4.

1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов 1, x, , на (-∞; +∞).

Решение. По определению линейной независимости системы функций:

α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + …+ α_ny_n(x) = 0, α_{1 =} α_{2 = … =} α_n

Построим линейную комбинацию данных функций и найдем все возможные α_i.

α₁ + α₂x + α₃ + α₄ = 0 =>

α₁ + α₂x + α₃ + α₄ + 2 α₄x + α₄ = 0.

Приравняем коэффициенты при равных степенях x:

x⁰ | α₁ + α₄ = 0

x¹ | α₂ + 2α₄ = 0 =>

x² | α₃ + α₄ = 0

Заданная система уравнений имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел α₁, α₂, α₃, α₄ таких, что линейная комбинация векторов α₁ + α₂x + α₃ + α₄ равна нулевому вектору, а это значит вектора линейно зависимы.

2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного

пространства решений системы

Решение. По свойству фундаментальной системы решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений ФСР является базисом в пространстве решений, число линейно независимых решений фундаментальной системы (n – rang A) является размерностью этого пространства. Поэтому решим систему методом Гаусса и построим ФСР.

~

Убираем повторяющуюся строчку, получаем матрицу, ранг которой равен 2:

~

Выбираем базисный минор М ≠0

и соответствующие ему базисные переменные – x₄ и x₅

Исходная система эквивалентна системе следующего вида:

=>

=> =>

=

общее решение системы однородных линейных уравнений. Найдем три частных решения (так как число неизвестных n=5, rang A=2, n–rang A=3), причем они должны быть линейно независимы. Для этого составим таблицу, в которой будем придавать свободным переменным значения, гарантирующие им линейную независимость (нельзя выразить одну строку через другую):

	x1 = a	x2 = b	x3 = c
I частное решение	1	0	0
II частное решение	0	1	0
III частное решение	0	0	1

Подставляя в общее решение значения a, b, и с, получим три частных линейно независимых решения, которые и будут составлять фундаментальную систему решений – базис пространства решений:

= , = , = .

Размерность пространства решений системы равна трем.

3.Найти координаты вектора x в базисе (e'1, e'2, e'3), если известны его координаты в базисе (e1, e2, e3): x = {1; 4; 8},

.

Решение. Найдем матрицу перехода T = (t_ij) из базиса (e1, e2, e3) в базис (e'1, e'2, e'3). По определению матрицы перехода

t₁₁e1 + t₂₁e2 + … t_n1en

t₁₂e1 + t₂₂e2 + … t_n2en

……………………………..

t₁₃e1 + t₂₃e2 + … t_n3en.

Тогда из условий задачи:

T =

Воспользуемся формулой преобразования координат при переходе от одного базиса к другому:

X = T X'

Тогда координаты искомого вектора х' могут быть найдены из матричного уравнения

T^-1X = X'

Построим обратную матрицу T^-1 для T:

=

где А_ij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам а_ij.

det T = = 1∙ + ∙ + (-1)∙ = -1 + 5 - 5 = -1.

Вычислим алгебраические дополнения:

А₁₁ = ∙ = -1; А₂₁ = ∙ = - 5/4;

А₃₁ = ∙ = 1/4; А₁₂ = ∙ = 4;

А₂₂ = ∙ = 6; А₃₂ = ∙ = -2;

А₁₃ = ∙ = 5; А₂₃ = ∙ = 25/4;

А₃₃ = ∙ = -9/4.

Получим:

= .

Найдем решения системы:

T^-1X = X' = ∙ = .

Таким образом, координаты вектора x в базисе (e'1, e'2, e'3) : x' = {4; -12; -12}.

4. Пусть x = (x₁; x₂; x₃). Являются ли линейными операторы A и B? Найдите матрицу каждого линейного оператора в стандартном базисе.

Ax = ( x₁; x₁ + 2 x₂ + 3 x₃; 4x₁ + 5 x₂ + 6 x₃),

Bx = ( x₁; x₁ + 2 x₂ + 3; 4x₁ + 5 x₂ + 6).

Решение. Из определения линейного оператора следует, что для линейного оператора справедливо соотношение:

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).

Проверим критерий линейности для оператора А:

A(αx + βy) = ( αx₁ + βy₁; αx₁ + βy₁ + 2 αx₂ + 2 βy₂ + 3 αx₃ + 3 βy₃; 4 αx₁ + 4 βy₁+ 5 αx₂ +5 βy₂ + 6 αx₃ + 6 βy₃) = (αx₁ + βy₁ ; α( x₁ + 2 x₂ + 3 x₃) + β(y₁ + 2 y₂ + 3 y₃) ; α (4x₁ + 5 x₂ + 6 x₃) + β(4y₁ + 5 y₂ + 6 y₃)) = α ( x₁; x₁ + 2 x₂ + 3 x₃; 4x₁ + 5 x₂ + 6 x₃) + β ( y₁; y₁ + 2 y₂ + 3 y₃; 4y₁ + 5 y₂ + 6 y₃) = α A(x) + β A(y).

Критерий линейности выполняется, следовательно, оператор А – линейный. Построим матрицу линейного оператора в стандартном базисе e₁ = (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0), e₃ = (0; 0; 1). Для этого запишем действие оператора А на каждый базисный вектор:

.

Согласно определению матрицы линейного оператора, выписываем его матрицу:

A = .

Проверим критерий линейности для оператора В:

B(αx + βy) = ( αx₁ + βy₁; αx₁ + βy₁ + 2 αx₂ + 2 βy₂ + 3; 4 αx₁ + 4 βy₁+ 5 αx₂ +5 βy₂ + 6) = (αx₁ + βy₁ ; α( x₁ + 2 x₂) + β(y₁ + 2 y₂) + 3 ; α (4x₁ + 5 x₂) + β(4y₁ + 5 y₂) +6) ≠ α A(x) + β A(y).

Критерий линейности не выполняется, следовательно, оператор В – не линейный.

5. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e'1, e'2, e'3), где e'1 = е1 – е2 + е3, e'2 = - е1 + е2 - 2е3, e'3 = - е1 + 2е2 + е3, если она задана

в базисе (e1; e2; e3) матрицей А = .

Решение. Используя теорему о преобразовании матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, запишем:

А' = T^-1АТ

где Т – матрица перехода из базиса (e1; e2; e3) в базис (e'1, e'2, e'3), А' - матрица линейного оператора в базисе (e'1, e'2, e'3). Из условий

запишем матрицу перехода Т:

Т = .

Построим обратную матрицу T^-1 для T:

=

где А_ij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам а_ij.

det T = = 1∙ + (-1) ∙ + (-1)∙ = 5 -3 - 1 = 1.

Вычислим алгебраические дополнения:

А₁₁ = ∙ = 5; А₂₁ = ∙ = 3;

А₃₁ = ∙ = -1; А₁₂ = ∙ = 3;

А₂₂ = ∙ = 2; А₃₂ = ∙ = -1;

А₁₃ = ∙ = 1; А₂₃ = ∙ = 1;

А₃₃ = ∙ = 0.

Получим:

= .

Найдем решения системы:

А' = T^-1АТ = ∙ ∙ =

∙ = ∙ = = = А'

Таким образом, получили матрицу оператора А' в новом базисе (e'1, e'2, e'3).

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

оператора, заданного матрицей А = . Если это возможно, то приведите ее к диагональному виду.