7. Измерение площадей на топографических картах и планах

Существует три способа измерения площадей на топографических картах и планах: аналитический, механический и графический.

Аналитический способ определения площади фигур заключается в вычислении площади по формулам. Использование непосредственно измеренных величин обеспечивает аналитическому способу возможности достижения наиболее высокой точности среди всех известных способов.

Механический способ измерения площадей основан на использовании специального прибора — планиметра.

Точность определения площадей этим способом характеризуется относительной погрешностью 1/200 - 1/400.

Графический способ заключается в разбивке участка на плане на простейшие фигуры (треугольники, четырехугольники и т. п.), вычислении площадей их в отдельности и последующем суммировании. Определение элементов фигур для вычисления их площадей производится графически. Вместо разбивки участка на отдельные фигуры можно применять палетки, изготовленные из прозрачного материала, на которые наносится сетка квадратов со сторонами в 2—4 мм. Относительная погрешность определения площади графическим способом составляет 1/500 -1/1000. Измерить на карте площадь контура, имеющего правильную геометрическую форму (треугольник, прямоугольник и т.д.) не вызывает затруднений. Для этого достаточно измерить длину сторон фигуры и по известным формулам геометрии вычислить ее площадь. В тех случаях, когда контур представляет собой сложный многоугольник, его площадь вычисляют путем суммирования площадей простейших геометрических фигур, на которые можно этот многоугольник разбить. В отдельных случаях удобнее площадь многоугольника вычислять через измеренные прямоугольные координаты X и Y его вершин по формуле:

или (20),

где i - номер вершины,

n - число вершин.

Следует иметь в виду, что если данные для вычисления площади получены из измерений по карте, то независимо, по каким формулам производится вычисление площади, этот способ будет называться графическим.

Задача 7.1. Вычислить площадь треугольника АВС, используя прямоугольные координаты вершин, полученные в задаче 4.1. Вычисление выполнить в табл. 13.

Таблица 13. Вычисление площади треугольника АВС

Название вершин	Х, км	Y, км	Yi+1 -Yi-1	Xi(Yi+1-Yi-1)
А	6067.700	4311.780	YВ-YС=-0,336	-2038,747
В	6067.578	4310,828	YС-YА=-0,616	-3737,628
С	6068.390	4311.164	YА-YВ=0,952	5777,107
P=0,5∑ Xi(Yi+1-Yi-1)=0,366км²

Большинство контуров на карте, особенно ландшафтного характера, имеют сложную криволинейную форму. Для измерения площади такого контура применяют палетку или планиметр.

Палетка представляет собой сетку квадратов, прямоугольников или других правильных геометрических фигур, нанесенных на прозрачную основу.

Измерение выполняют путем подсчета числа целых фигур и их дробных частей. Зная площадь одной такой фигуры, вычисляют площадь контура. Палетки применяются для измерения площадей малых контуров (вкраплений). Для измерения площадей, имеющих значительную величину, применяют специальный прибор – планиметр (рис.21). Такой способ получил название механического.

Принцип измерения площади планиметром заключается в обводе контура обводным рычагом планиметра 3, на котором имеется счетный механизм 1, фиксирующий длину пройденного пути (рис. 22). Зная длину пройденного пути и цену деления планиметра, искомую площадь контура вычисляют по формуле:

( 23)

Цену деления планиметра определяют перед началом работы путем обвода контура, площадь которого известна. При работе на топографических картах для определения цены деления планиметра обводят квадрат километровой сетки (100 га). Цену деления в этом случае можно вычислить по формуле:

(24)

Рис. 22. Полярный планиметр а) общий вид; б) счетный механизм (отсчет 6422)

Планиметр PLANIX 5 (рис. 23) позволяет максимально быстро и точно вычислять площади замкнутых контуров на плоской поверхности. PLANIX 5 относится к планиметрам полярного типа. Он имеет полюсное плечо – с его помощью и осуществляется движение в пределах площади, которую необходимо измерить. Есть два варианта вычислений: они могут производиться либо в квадратных сантиметрах, либо в квадратных дюймах. Увидеть измеренные значения позволяет однострочный восьмисимвольный жидкокристаллический дисплей. методика измерений сохраняется как и при использовании механического прибора.

Точность измерений планиметра PLANIX 5 составляет всего две десятых процента в каждую из сторон. Точность измерения данным планиметром выше чем при работе механическим полярным планиметром так как исключается ошибка за неправильное снятие отсчета (отсчет показывается на табло и результат не зависит от зрения наблюдателя).

Рис. 23. Внешний вид планиметра PLANIX 5

Аккумулятор планиметра PLANIX 5 позволяет работать без подзарядки в течение весьма 30 часов.

Задача 7.2. Определить цену деления планиметра по упрощенной программе (при одном положении полюса ).

Для определения цены деления выбирают на карте квадрат километровой сетки. Полюс планиметра 4 следует расположить так, чтобы при обводе угол между обводным 7 и полюсным рычагом 3 был более 30° , но менее 150° . Для контроля делают не менее 3-х обводов. Измерения считают качественными, если расхождения разностей ∆U=U₂-U₁ между приемами не превышают двух-трех делений в последнем разряде. В противном случае измерения повторяют. Результаты измерений записывают в таблицу 14.

Таблица 14. Определение цены деления планиметра №69556

№ изм	Отсчеты по планиметру		Разности отсчетов	Цена деления планиметра
	U1	U2	∆U=U2-U1
1	8134	7104	1030	0.09709
2	7104	6076	1028	0.09728
3	6076	5044	1032	0.09689

С_ср=0.09709 - определяется как среднее арифметическое значение из трех измерений.

Задача 7. 3. Определить площадь контура треугольника АВС с помощью планиметра.

Измерения выполняют аналогично определению цены деления планиметра, только обводят в этом случае заданный контур. Результаты измерений записывают в таблице 15.

Таблица 15. Измерение площади треугольника АВС планиметром № 69556

№ изм.	Отсчеты по планиметру		Разности отсчетов	Площадь контура S, га
	U1	U2	∆U=U2-U1
1	2401	2024	377	36,60
2	1393	1015	378	36,70
3	1015	0637	378	36,70

S_cp=36,66 га - определяется как среднее арифметическое значение из трех измерений.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие способы измерения площадей вы знаете?

2. Какие формулы вычисления площадей из геометрии вы знаете?

3. Выведите формулу вычисления площади треугольника через прямоугольные координаты его вершин?

4. Расскажите устройство планиметра?

5. Как определить цену деления планиметра?

6. Как измерить площадь с помощью планиметра?