4.2. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера

Для целей крупномасштабного картографирования применяют равноугольную поперечно-цилиндрическую проекцию Гаусса-Крюгера, в которой сохраняются подобие изображения фигур при переходе с эллипсоида на плоскость, а искажение длин линий не выходит за пределы графической точности.

Геометрический смысл этой проекции заключается в следующем. Поверхность сферы разбивают меридианами через 6 градусов на зоны, каждая из которых отдельно проектируется на боковую поверхность цилиндра (рис. 8). Разрезав цилиндр по направляющей, проходящей через земные полюса, получают изображение сферической поверхности на плоскости (рис. 9).

Р ис. 8. Деление на зоны в системе прямоугольных координат Гаусса-Крюгера

На полученном изображении осевой меридиан зоны и экватор - взаимно перпендикулярные прямые линии, а остальные меридианы и параллели – кривые.

Относительные искажения ∆D/D на краях шестиградусной зоны могут достигать величины порядка 1/1500, а трехградусной – 1/6000. Выбор ширины зоны зависит от требований, предъявляемых к точности топографической карты. Если для проектирования нужны карты масштаба 1:10 000 и мельче, то применяют шестиградусные зоны, для более крупных масштабов – трехградусные.

В каждой зоне, а их 60, задаётся своя система прямоугольных координат, в которой за ось абсцисс (Х) принимается осевой меридиан, а за ось ординат (Y) – экватор (рис. 9).

Зоны нумеруются арабскими цифрами с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Для удобства измерения прямоугольных координат на карте проводят сетку, состоящую из прямых линий, параллельных осевому меридиану и экватору, которая называется координатной сеткой. Расстояние между смежными линиями сетки для масштабов карт 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000 составляет 1 км на местности. У западной и восточной рамок карты подписывают абсциссы, а у северной и южной - ординаты координатной сетки, что позволяет легко определить прямоугольные координаты любой точки, изображенной на карте.

Для территории нашей страны расположенной в северном полушарии, абсциссы всегда положительны и их величина соответствует расстоянию от экватора до данной линии. Для того, чтобы и ординаты были всегда положительными, их начало смещают на запад на 500 км (рис. 9). в связи с этим различают преобразованную и не преобразованную систему прямоугольных координат.

Чтобы знать, в какой зоне находится данная точка, перед ее преобразованной координатой пишется номер зоны. Например, «у» = 4 641 415,64 м. Это означает, что точка находится в четвертой зоне, а ее ордината от осевого меридиана будет равна 641 415,64 – 500,00 = +141 315,64м.

Рис. 9. Система плоских прямоугольных координат Гауса-Крюгера

Задача 4.1. Определить прямоугольные координаты вершин треугольника.

Для решения задачи каждому студенту необходимо иметь ксерокопию карты, на которой преподавателем построен треугольник с вершинами АВС. Прежде чем приступить к решению задачи необходимо определить масштаб карты (длина стороны квадрата равна 1 км). Необходимо выделить квадрат километровой сетки, в котором находится вершина треугольника и выписать координаты его юго-западного угла. На рис. 10 для точки А Хюз=6067 км, Yюз=4311 км.

Рис. 10. Фрагмент карты с нанесенным преподавателем треугольником

Из точки А опускают перпендикуляры на стороны квадрата километровой сетки. С помощью измерителя и масштабной линейки определяют длины перпендикуляров относительно южной и западной стороны квадрата. То есть измеряют приращения координат. Для контроля вычисляют ΔХ',ΔY'. Очевидно, что при отсутствии погрешности в измерениях должны выполнятся условия:

;

.

Практически таких равенств не получается из-за случайных и систематических погрешностей измерений (деформация бумаги, не точность установки игл измерителей в вершины, погрешности построения поперечного масштаба и т.д.). Однако, величина неравенства не должна превышать 0,3 мм в масштабе карты. Если условие выполняется, то окончательные координаты точки А можно вычислить по формулам.

;

.

Данные формулы и рекомендуется использовать при решении задачи 4.1. результаты измерений записывают в таблицы 1 и 2.

В случае если точка расположена не в полном квадрате, как например точка В, С на рис. х. выполнить контроль измерений невозможно. Так как на карте возможно измерить лишь одну величину ΔХ' или ΔХ', ΔY или ΔY'.

В таком случае значения координат точки А будут равны:

;

;

;

.

Недостатком изложенного способа является его бесконтрольность. Здесь любая грубая ошибка в измерении остается незамеченной. Поэтому на практике измеряют не только отрезки ∆Х_А и ∆Y_A, но и продолжения их до северной и восточной сторон километровой сетки, т.е., ∆Х_А ' и ∆Y_A'. где D – длина стороны квадрата километровой сетки.

В качестве примера в этих таблицах приведены результаты измерения координат вершин треугольника АВС ( рис. 10).

Таблица 1. Абсциссы точек А, В, С.

Точка	Xю.з, км	∆X, км	∆Х´, км	Х, км
А	6067	0.698	0,298	6067.700
В	6067	0.578	0.422	6067.578
С	6068	0.390	------	6068.390

Таблица 2. Ординаты точек А, В, С.

Точка	Yю.з, км	∆Y, км	∆Y´, км	Y, км
А	4311	0.780	0.219	4311.780
В	4310	----	0,172	4310,828
С	4311	0.164	0.832	4311.164

Задача 4.2. По измеренным в задаче 4.1 прямоугольным координатам вычислить длины сторон треугольника и сравнить их с непосредственно измеренными.

Задача распадается на 2 части. В первой части необходимо вычислить длины сторон по известной в математике формуле:

(10),

вычисленные расстояния записать в таблицу 4 с числом значащих цифр, соответствующих точности масштаба карты.

Вторая часть задачи заключается в непосредственном измерении длин сторон треугольника с помощью измерителя и построенного поперечного масштаба.

Результаты измерений также записать в таблицу 3. Найти расхождения между вычисленными и измеренными длинами сторон треугольника и дать анализ их соответствия точности масштаба карты. Перечислить причины возникновения этих расхождений.

Таблица 3. Значения длин сторон треугольника, полученные при вычислениях и измерениях

Линия	Приращения координат		Длины вычисленные, м	Длины измеренные, м	Расхож-дения, м
	∆Y, км	∆X, км
AB	-0,122	-0,952	960	968	-8
BC	0,812	0,336	878	882	-4
AC	0,690	-0,616	924	922	-2

Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность зональной системы прямоугольных координат?

2. Что принято за ось ординат и абсцисс в зональной системе координат?

3. В чем смысл преобразования ординаты?

4. Как определить номер зоны данного листа карты?

5. Какие погрешности влияют на точность измерения координат (длин линий) по карте?

6. Как определить длину отрезка, зная прямоугольные координаты его концов?

7. Как построить на карте точку по известным прямоугольным координатам?