27) Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.
Пусть
для матрицы А порядка n на n существует
обратная матрица
.
Умножим обе части
матричного уравнения
слева
на
(порядки
матриц A ⋅
X и В позволяют произвести такую операцию).
Имеем
.
Так как для операции умножения матриц
подходящих порядков характерно свойство
ассоциативности, то последнее равенство
можно переписать как
,
а по определению обратной матрицы
(E
– единичная матрица порядка n на n),
поэтому
Таким
образом, решение
системы линейных алгебраических
уравнений матричным методом определяется
по формуле
.
Другими словами, решение СЛАУ находится
с помощью обратной матрицы
.
Мы знаем, что квадратная матрица А
порядка n на n имеет обратную матрицу
только
тогда, когда ее определитель не равен
нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ
МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ
МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
28) Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов
при соответствующих неизвестных
свободными членами:
;
.
Формулы
Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти
значения
и
возможно
только при условии, если
.
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
29) Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы - матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:
1) строки матрицы можно переставлять местами.
2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
4) строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.
5) к строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.
В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
«Прямой ход» - с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:
Для этого выполним следующие действия:
1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х1, стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х1 не будут иметь коэффициент 0.
2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х2 во всех уравнениях будут нули.
3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.
«Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную хn. Для этого решаем элементарное уравнение А*хn = В. В примере, приведенном выше, х3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х2 – 4 = 1, т.е. х2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.
Пример.
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так: 1 шаг. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
Дальше алгоритм работает уже по апробированной методике:
2 шаг. Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
3 шаг. Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
4 шаг. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
5 шаг. Третью строку разделили на 3.
Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23), и, соответственно, 11x3 = 23, x3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:
x3 = 1 x2 = 3 x1 + x2 – x3 = 1, следовательно x1 + 3 – 1 = 1, x1 = –1
Ответ: x1 = –1, x2 = 3, x3 = 1.
30)
Пусть дана система m-линейных
уравнений с n-неизвестными
Матрицы
называются соответственно матрицей
и
расширенной
матрицей системы
.
Теорема
Кронекера – Капелли:
Для
совместности системы
необходимо
и достаточно чтобы ранг матрицы системы
был равен рангу ее расширенной матрицы,
т.е.
.
Однородная система уравнений всегда
совместна.
Если
ранг совместной системы r
равен числу неизвестных, т.е.
,
то система является определенной. Если
же ранг совместной системы меньше числа
неизвестных, то система неопределенная.
Пример
6.Исследовать
систему уравнений:
Решение.Рассмотрим
расширенную матрицу системы
Вычтем
из 2-ой строки 1-ую и разделим элементы
полученной строки на 4, получим:
.
Вычтем
из третьей строки 1-ую и разделим на 2
,будем иметь
.
Вычтем,
из элементов 3-ей строки соответствующие
элементы 2-ой строки
,
после этого вычеркнем 3-ю строку, получим
.
Ранг
матрицы
равен
.
Ранг расширенной матрицы
тоже
равен 2. Следовательно, по теореме
Кронекера–Капелли, система совместна.
Возьмем уравнения
За
основные неизвестные примем
и
.
Это можно сделать, так как определитель
из коэффициентов при этих неизвестных
отличен от нуля:
.
Свободным неизвестным служит
.
Перепишем
систему в виде:
.
Выразим
и
через
:
.
Поэтому
общее решение системы:
.
31)
Для того чтобы система линейных однородных
алгебраических уравнений (1) имела
нетривиальное решение, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы системы
был меньше числа неизвестных, т.е.
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
-
решение системы (1)
.
Следовательно, совокупность столбцов
линейно
зависимая, т.к. не все числа
равны
нулю. Таким образом, по следствию 2 к
теореме 7 §12
получаем:
,
и необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть
,
и пусть
-
базисные столбцы матрицы
.
Тогда по теореме 7 столбец
равен
линейной комбинации базисных столбцов,
т.е.
,
причём
Следовательно,
столбец
-
ненулевое решение системы (1), т.к. этот
столбец удовлетворяет равенству (2), и
теорема доказана.
Следствие
1.
Для того чтобы система линейных однородных
алгебраических уравнений (1) имела только
нулевое решение, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы системы был равен
числу неизвестных, т.е.
.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) имеет только нулевое решение. Если неверно равенство , то , и по теореме 1 эта система имеет ненулевое решение, что противоречит условию.
Достаточность. Пусть . Если неверно, что эта система имеет только нулевое решение, то она имеет ещё и ненулевое решение. Тогда по теореме 1 справедливо неравенство , что противоречит условию, и следствие доказано.
Следствие
2.
Если число уравнений
системы
линейных однородных алгебраических
уравнений меньше числа неизвестных
,
то эта система имеет нетривиальное
решение.
Доказательство.
Действительно,
в этом случае
,
т.е.
,
и по теореме 1 система (1) имеет нетривиальное
решение.
32) Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
Однородные системы
Однородной
системой линейных уравнений называется
система вида:
Нулевое
решение
системы
(1) называется тривиальным
решением.
Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.
Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.
Решения однородной системы обладают свойством линейности:
|
Теорема
(о линейном решении однородных
систем).
Пусть
|
|
—
решения однородной системы (1),
—
произвольные константы. Тогда
также
является решением рассматриваемой
системы.Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:
|
Теорема
(о структуре общего решения).
Пусть
|
|
,
тогда:
,
где
—
число переменных системы, то существует
только тривиальное решение;
,
то существует
линейно
независимых
решений рассматриваемой системы:
,
причём её общее
решение
имеет вид:
,
где
—
некоторые константы.
Пусть
дана однородная система (1), тогда набор
векторов
размера
называется
фундаментальной
системой решений (ФСР)
(1), если:
— решения системы (1);
линейно независимы;
.
|
Теорема
(о ФСР).
Пусть
ранг
основной матрицы
Замечание:
Если
|
|
,
где
—
число переменных системы (1), тогда:
векторов;
.
,
то ФСР не существует.Пример
Решим
систему
Перепишем
её в матричном виде:
Путём
элементарных
преобразований
над строками приведём её основную
матрицу
к ступенчатому виду:
Таким
образом ранг
системы (ранг её основной матрицы) равен
двум. Это значит, что существует
линейно
независимых
решения системы.
Перепишем
полученную систему в виде уравнений:
Возьмём
и
в
качестве главных переменных. Тогда:
Подставим
по очереди единицы в качестве одной из
свободных переменных:
и
.
Тогда
общее решение рассматриваемой системы
может быть записано так
,
а
вектора
составляют
фундаментальную систему решений.
Неоднородные системы
Неоднородной
системой
линейных уравнений
называется система вида:
—
её
расширенная матрица.
|
Теорема
(об общем решении неоднородных
систем).
Пусть
|
|
(т.е.
система (2) совместна), тогда:
,
где
—
общее решение системы (1), называемое
общим
однородным решением,
—
частное решение системы (2), называемое
частным
неоднородным решением.
Решим
систему
Преобразуем
её к
Тогда
переменные
и
обязательно
будут главными, возьмём также
в
качестве главной.
Заметим,
что
является
частным решением.
Составим
однородную систему:
Тогда,
подставив единицу в качестве свободной
переменной
,
получим ФСР однородной системы:
Общее
решение системы может быть записано
так:
