8) Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и

A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и

(x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле: 

9) Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.    

Это условие может быть записано также в виде k₁k₂ = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Точка пересечения прямой и плоскости.

Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Линией (кривой) второго порядка называется линия общее уравнение которой имеет следующий вид: 

. 

Уравнение второй степени вида   (не содержащее члена   c произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости   эллипс, гиперболу и параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов   и  .

10) Расстояние от точки до прямой.

Для определения расстояния от точки до прямой необходимо знать уравнения прямой и координаты точки в декартовой системе координат. Расстоянием от точки до прямой будет являться перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой.

Общее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид Ax+By+C=0, где A, B и C - известные числа. Пусть точка O имеет координаты (x1, y1) в декартовой системе координат.

В этом случае отклонение этой точки от прямой равно δ=(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)), если C<0, и δ=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.

Расстояние от точки до прямой - это модуль отклонения точки от прямой, то есть r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2))|, если C<0, и δ=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.

Пусть теперь точка с координатами (x1, y1, z1) задана в трехмерном пространстве. Прямая может быть задана параметрически, системой из трех уравнений: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, где t - действительное число. Расстояние от точки до прямой можно найти как минимальное от этой точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки равен tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^2))

Расстояние от точки (x1, y1) до прямой можно посчитать и в случае, если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом: y = kx+b. Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой будет иметь вид: y = (-1/k)x+a. Далее нужно учесть, что эта прямая должна проходить через точку (x1, y1). Отсюда находится число a. После преобразований находится и расстояние между точкой и прямой.

11) Любое линейное уравнение задает на плоскости прямую. Линии, задаваемые уравнениями вида , (4.12) называются кривыми второго порядка. За исключением вырожденных случаев имеется всего 3 кривых второго порядка: эллипс (частный случай - окружность), гипербола и парабола, они имеют следующие канонические уравнения и вид.

Окружностью радиуса с центром в точке называется множество точек плоскости удаленных от точки на расстоянии .

Уравнение окружности имеет вид: . (4.13)

В частности, полагая, получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Здесь

- полуоси эллипса; О (0; 0) – центр эллипса. - половина расстояния между фокусами. Вершины эллипса .

Фокусы -

Прямые называются директрисами эллипса.

Форму эллипса характеризует отношение , называемое эксцентриситетом эллипса. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси, т.е. оси на которой лежат фокусы. В предельном случае при эллипс переходит в окружность.

Если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы располагаются на оси ОУ и имеют координаты

12) Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Здесь - действительная полуось гиперболы, - мнимая полуось гиперболы.

Точки - вершины гиперболы.

Фокусы гиперболы

Гипербола имеет две асимптоты

Для построения гиперболы сначала строят основной прямоугольник, ограниченный прямыми , затем проводят его диагонали, которые совпадают с асимптотами гиперболы.

Форму гиперболы характеризует эксцентриситет . Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут её основной в направлении фокальной оси.

Гипербола называется сопряженной к гиперболе (4.15).

Здесь - мнимая полуось гиперболы, - действительная полуось гиперболы Вершины сопряженной гиперболы и фокусы лежат на оси ОY.

13) Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фиксированной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы, называется параметром параболы и обозначается через .

Каноническое уравнение параболы имеет вид: , где . (4.16)

Точка - вершина параболы, ось - ось симметрии параболы.

Фокус и уравнение директрисы .

Парабола располагается симметрично относительно оси .

14)

15) Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (начало координат) и одинаковой для всех осей масштабной единицей. (В дальнейшем будем называть ее просто прямоугольной или декартовой) (рис. 2.1). Оси носят название:

·  – ось абсцисс;

·  – ось ординат;

·  – ось аппликат.

Плоскости xОy, xОz, yOz называются координатными плоскостями.

Единичные векторы  ,  , сонаправленные с осями Ox, Oy, Oz, носят название: орт осей. В случае если орты образуют правую тройку, то система координат принято называть правой, если левую, то – левой. В дальнейшем мы будем работать только с правой системой координат (рис. 2.1).

Определим понятие координат вектора. Рассмотрим произвольный вектор  . Приведем его к началу координат, точке  (рис. 2.1). (Напомним, мы рассматриваем только свободные векторы). Спроектируем данный вектор на координатные оси. Составляющими вектора  по координатным осям являются векторы:  , а проекциями на координатные оси – числа  . Эти проекции мы и будем называть координатами вектора.

Рис. 2.1

Определение 2.1.Координатамивектора  называются его проекции  на координатные оси. При этом пишут:  (2.1)

где  Очевидно, координаты нулевого вектора равны 0.

В случае если два вектора равны,  , то равны их проекции на оси, а значит и их координаты. И наоборот, если равны координаты двух векторов, то равны и векторы. Следовательно, справедливо утверждение.

Теорема 2.1. Необходимым и достаточным условием равенства двух векторов является равенство их соответствующих координат:

 (2.2)

16) Скалярным произведением двух ненулевых векторов   и   называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если хотя бы один из векторов   или   равен нулевому вектору, то  .

Свойства скалярного произведения:

1°      - симметричность.

2°     . Обозначается   и называется скалярный квадрат.

3°    Если  , то 

4°    Если   и   и  , то  . Верно и обратное утверждение.

5°    

6°    

7°    

Если векторы   и   заданы своими координатами:  ,   , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина вектора  , заданного своими координатами, находится по формуле:

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Угол между двумя векторами  ,  :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

17) Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0                                        (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;              (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                       (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.                              (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.                                      (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: .

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система  равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

18) Матрица – таблица величин (элементов матрицы), записанных в определенной последовательности.

Различают следующие основные типы матриц: строчная, столбцевая, прямоугольная, квадратная, диагональная, единичная, нулевая, транспонированная.

Матрица ( ), содержащая одну строку элементов, называется матрицей – строкой. Например, матрица является матрицей – строкой с элементами.

Матрица ( ), содержащая один столбец и строк, называется матрицей – столбцом.

Матрица, содержащая строк и столбцов, является прямоугольной матрицей и называется еще ( ) – матрицей, или матрицей порядка .

Прямоугольная матрица, у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной матрицей, или матрицей -ого порядка.

Квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на одной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Единичная матрица – диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице.

Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

Транспонированная матрица получается из исходной в рез-те преобразования,при которой ее строки и столбцы меняются местами.Так, если исходная матрица ,

то транспонированная ей будет матрица

19) Суммой двух матриц А и В одного порядка ( ) служит матрица С, элемент которой определяется как

Разностью двух матриц А и B одного порядка ( ) служит матрица D, элемент которой определяется как

Произведение матрицы и действительного (или комплексного) числа - это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число , то есть, .

Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.

Свойства операции умножения матрицы на число.

1. Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа справедливо свойство дистрибутивности умножения относительно сложения .

2. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и выполняется свойство дистрибутивности .

3. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения .

4. Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть, .

Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.

Произведение матрицы А порядка и матрицы В порядка - это такая матрица С порядка , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, то есть,

Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка .

Следует помнить, что умножение матриц не обладает переместительным свойством. Так, если матрицы – множители А и В квадратные, одинакового порядка, то в общем случае .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.