Филиал МАГУ в г. Апатиты

ФИО				Наименование работы: Определение времени реакции студента
Кафедра: ГДНЗиП
Курс, группа, подгруппа 1СГД(з)АФ				Цель работы: Изучение методов измерения физических величин и расчет погрешностей.
Этап работы	оценка	дата	преподаватель
Допуск			Шейко Е.М.
Окончание				Принадлежности: Измерительная линейка
Итоговая оценка

1. Теоретические основы работы.

Введение в теорию погрешностей.

При решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих типов.

1. Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а так же ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей.

3. Погрешность округлений (погрешность действий). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи.

В большинстве технических расчетов допустимые погрешности находятся в пределах 0,1 до 5%, но во многих научных вопросах, связанных с современной техникой, они должны быть снижены до тысячных долей процента, а иногда и более.

Обеспечить необходимую точность результата можно только тогда, когда исходные данные берут достаточно точными и когда учитывают все погрешности, которые привносятся самими вычислениями.

Виды измерений.

Измерением называют сравнение данной физической величины с однородной величиной, принятой за единицу измерения.

Значение величины, найденное путем измерения, называется результатом измерения. Измерения могут быть прямыми и косвенными.

Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно из опыта, путем отсчета по шкале измерительного прибора.

Косвенным называют измерение, при котором значение интересующей нас величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям (т.е. по формулам).

Опыт показывает, что сколь угодно точно измеряя повторно какую-нибудь величину, мы получаем отличные друг от друга результаты. Следовательно, ни одно измерение невозможно сделать абсолютно точно; любое измерение всегда связано с некоторой ошибкой (погрешностью). Абсолютно точный результат получается только при счете.

Физическое измерение состоит не только в нахождении численного значения измеряемой величины, оно должно содержать и оценку ошибки, допущенной при измерении. Результат измерения любой величины без оценки ошибки измерения является неполноценным.

Виды погрешностей.

Абсолютная погрешности.

Измеряя величину с точным значением Х, мы обычно получаем лишь ее приближенное значение Х_пр.

Абсолютной погрешностью (ошибкой) D₀ приближенного значения Х_пр называется абсолютная величина разности между соответствующим точным значением Х и данным приближенным числом, т.е.

D₀=ïХ_пр- Хï.

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.

В физике рассматривают также ошибку со знаком или конкретную ошибку измерения:

D₀=Х_пр – Х.

Чаще всего мы не знаем точного значения Х и, следовательно, не имеем возможности определить абсолютную погрешность D₀ приближенного значения Х. В этом случае ограничиваются оценкой сверху абсолютной погрешности, т.е. находят величину D по возможности малую такую, что

D₀ £ D .

Величина D называется предельной абсолютной ошибкой (погрешностью) приближенного значения Х. Очевидно неравенство:

или сокращенно

,

где - среднее значение измерений, определяемое формулой

,

а величина n число измерений.

Предельная ошибка не поддается ни измерению, ни вычислению, но ее можно оценить более или менее обоснованно. Чем меньше предельная ошибка, тем больше точность измерений.

Часто бывает, что нам известны два приближенных значения Х₁ и Х₂ , между которыми заключено точное значение Х искомой величины:

Тогда можно положить:

, где

,

Относительная погрешность.

Относительной погрешностью (ошибкой ) d₀ приближенного значения Х_пр называется отношение абсолютной погрешности D₀ этого значения к соответствующему точному значению Х, т.е.

отсюда следует соотношение:

т.е. абсолютная погрешность приближенного значения равна его относительной погрешности, умноженной на соответствующее точное значение Х.

Если точное значение Х не известно или слишком сложно, то дают верхнюю оценку величины d₀. Величина d, удовлетворяющая неравенству:

d₀ £ d

называется предельной относительной погрешностью приближенного значения Х_пр. Очевидно положить

где D - предельная абсолютная погрешность значения Х.

Относительная погрешность может быть выражена в процентах:

Качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины, называется точностью измерений. Очевидно, чем меньше погрешности всех видов, тем выше точность измерений.

Типы погрешностей.

По характеру влияния на результаты измерений и по виду вызывающих их причин погрешности делятся на 3 типа:

• систематические,

• случайные,

• промахи.

Деление погрешностей по виду вызывающих их причин представляет собой наиболее принципиальный тип их классификации. Этот подход позволяет наметить общую стратегию уменьшения погрешностей путем последовательного выявления, учета и устранения сначала систематических погрешностей и промахов, а потом оценки и снижения случайных погрешностей.

Промахи. Ошибки измерений.

Промах – это грубая ошибка, вызванная невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, описка при записи показаний прибора и т.д.). Промахи могут очень сильно исказить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число не велико.

Ошибки измерений, которые обусловлены неточностью процедуры (включая вычисления), называют ошибками процедуры. К ошибкам процедуры можно отнести ошибку вычислений и методическую ошибку.

Ошибку вычислений нельзя путать с промахом при вычислениях. Ошибка вычислений обусловлена приближенностью вычислений (округления и пр.) Эту ошибку можно сделать пренебрежимо малой, если производить вычисления с относительной погрешностью, по меньшей мере, в десять раз меньшей, чем при прямых измерениях. То есть использовать на один десятичный знак больше, чем в самом неточном результате измерений.

Методическая ошибка может быть обусловлена несовершенством метода измерений или приближенностью вычислительных формул. В случае корректно поставленного эксперимента или использования простых обоснованных формул методическая ошибка пренебрежимо мала. В физическом практикуме приходится учитывать в основном случайные и систематические ошибки: ошибки снятия показаний приборов, ошибки помех и исходные ошибки, так как методика измерений и расчетные формулы заданы в руководстве к работе.

Систематические погрешности.

Систематическими называются погрешности, величина которых не изменяется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом, теми же приборами и т.д.).

Систематические погрешности – это погрешности, вызываемые известными причинами, или причины которых можно установить при детальном рассмотрении процедуры измерений.

Каждая из систематических погрешностей однозначна и постоянна по значению (при повторных измерениях). Систематические погрешности возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов: температуры, давления, влажности воздуха и т.д. Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности. Такие погрешности называют ошибками прибора.

Измерительные приборы должны соответствовать требованиям государственных стандартов (ГОСТ). В соответствующем стандарте и паспорте прибора указана допустимая основная ошибка этого прибора, означающая допустимую предельную ошибку исправного прибора в нормальных условиях его работы. Эту ошибку практически можно считать “абсолютной” ошибкой прибора. Таким образом в качестве оценки ошибки прибора берется допустимая основная ошибка. Допустимая основная ошибка стрелочных электроизмерительных приборов DХ вычисляется по формуле:

где k – класс точности или приведенная основная ошибка прибора,

Х_р.ш.- размах его шкалы, т.е. разность максимального и минимального показания его шкалы :

Х_р.ш..= Х_max – X_min

Класс точности показывает относительную предельную ошибку (в %), когда стрелка прибора находится на последнем делении шкалы. Следует помнить, допустимая основная ошибка измерительного прибора на протяжении всей шкалы одинакова, а относительная ошибка тем больше, чем меньше показания прибора.

К систематическим ошибкам можно отнести так называемую ошибку помехи. Ошибка помехи может быть обусловлена внешними электрическими и магнитными полями, вибрацией, рассеянным светом и пр. Эту ошибку следует устранить реорганизацией эксперимента, что может оказаться вовсе не простым делом. Если все же потребуется производить измерения в условиях, где показания измерительного прибора колеблется около некоторого среднего значения, то зарегистрируем наибольшее X_max и наименьшее X_min показание и в качестве результатов измерения возьмем их среднее значение по формуле:

Ошибку величины теперь можно оценить по формуле:

Случайные погрешности.

Случайные погрешности, в отличии от систематических, не имеют видимой причины. Точнее говоря, причины их столь многочисленны и каждая из них столь незначительно влияет на общий результат измерения, что их индивидуальное рассмотрение не имеет смысла. Общая случайная погрешность не постоянна ни по абсолютному значению, ни по знаку, но появление существенной случайной погрешности тем менее вероятно, чем больше ее абсолютное значение.

Таким образом, случайными называются погрешности, величина которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях. Случайные погрешности вызываются действием различных неконтролируемых факторов: толчков, воздушных течений, пылинок и т.д. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Влияние случайных погрешностей можно существенно уменьшить усреднением результатов большого числа измерений. Допустим, что Х₁,Х₂,…..,Х_n – результаты отдельных измерений, а DХ_i (iÎ[1,n] ) – их абсолютные погрешности:

Сложив почленно эти равенства, мы получим :

откуда получим равенство для Х:

где величина называется средним арифметическим результатом серии измерений. Так как при большом числе измерений эта величина очень мала, то можно считать, что . Чем больше число измерений n, тем точнее выполняется это равенство.

Если систематическая и случайная ошибка присутствуют одновременно, то говорят о систематическом и случайном компонентах ошибки. Ошибка прибора, как правило, систематическая, если при повторных измерениях одной и той же величины пользуются одним и тем же прибором; если же при каждом измерении величины пользуются другим прибором, то эта ошибка случайная. Ошибка становится также случайной, если пользуются разными пределами измерений одного и того же прибора. Ошибка процедуры может содержать как систематический, так и случайный компонент. Исходная ошибка не содержит случайного компонента, а ошибка помехи, как правило, случайна.

Оценка случайных погрешностей проводится на основании математической статистики.

Среднеквадратичная погрешность среднего.

До сих пор речь шла о распределении случайных ошибок единичных измерений. Но среднее арифметическое Х случайных величин:

является также случайной величиной. Если сделано N серий измерений, в каждой серии по n измерений и найдены все N средних значений X_i, то все величины X_i распределятся вокруг так же по функции Гаусса. Стандартное отклонение средних арифметических серий находится по формуле:

Величина называется дисперсией среднего и является мерой погрешности среднего значения Х, найденного из n измерений. В теории погрешностей доказывается, что

Это означает, что в отличии от , зависит от числа проведенных измерений:

(2.1.)

Следовательно, при достаточно большом n можно записать:

Величина называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего или оценкой стандартного отклонения среднего арифметического.