5. Криптографические методы защиты информации

5.1.Элементы теории чисел

• вычет

• сравнимость по модулю

• свойства операций над вычетами

• взаимнопростые числа

• мультипликативно обратное число

• приведенный набор вычетов

• функция Эйлера

• малая теорема Ферма, теорема Эйлера

• причины использования операций над вычетами

Утв.: aZ nZ⁺ ! q, rZ (0  r < n  a = qn+r). r – вычет a по модулю q.

Опр.: a = b {mod n} – a сравнимо с b по модулю n (a, b, n  Z).

a{mod b} = c kZ⁺(a = kb + c)

a = c {mod b} a{mod b} = c

Полный набор вычетов по модулю n: {0, 1, 2, …, n-1} – коммутативное кольцо. Свойства операций над вычетами:

• аддитивность: (a+b) {mod n} = (a{mod n} + b{mod n}){mod n};

• мультипликативность: (a*b) {mod n} = (a{mod n} * b{mod n}){mod n};

• сохранение степени: a^b{mod n} = (a{mod n})^b{mod n}.

Другие свойства:

• (-a){mod n} = (kn-a){mod n} (k = a/n, a > 0);

• (a{mod n}){mod n} = a{mod n};

• n {mod n} = 0.

Опр.: Числа a и b взаимно простые, если НОД(a, b) = 1.

Опр.: Если ab = 1{mod n}, то b – мультипликативно обратное число для a{mod n}.

Необходимое условие существования мультипликативно обратного числа – взаимная простота.

Опр.: Приведенный набор вычетов по модулю n Z_n^* – множество, содержащее вычеты по модулю n, которые взаимно просты с n.

Опр.: Функция Эйлера (n) = | Z_n^*|.

Утв.: Если p, q – простые числа, то (p) = p-1, (p²) = p(p-1), (pq) = (p-1)(q-1).

Утв.: Если n – составное число и {p₁, p₂, …, p_k} его простые делители, то

< n-1.

Теорема (малая теорема Ферма): Если aZ, n – простое, a и n – взаимно простые, то

a^n-1 = 1{mod n}.

Теорема (Эйлера): Если aZ, n – простое, a и n – взаимно простые, то a^(n) = 1{mod n}.

Утв.: Если aZ, n – простое, a и n – взаимно простые, то a^-1{mod n} = a^(n)-1{mod n}.

Причины использования операций над вычетами:

• ограничение разрядности,

• простая процедура вычисления прямой операции (обратная операция – дискретный логарифм, вычисляется очень сложно).

5.2. Симметричные криптосистемы и их использование

5.2.1. Способы построения симметричных криптосистем

• перестановка

• замена/подстановка

• гаммирование

• современные симметричные криптосистемы

Обозначения:

P – открытый текст,

C – шифртекст,

E_K – функция шифрования ключом K,

D_K – функция расшифрования ключом K.

Основные способы:

1. перестановка: символы переставляются в соответствии с задаваемым ключом правилом.

Это один из лучших алгоритмов по временным характеристикам. Проблема в случае, когда длина ключа меньше длины текста. Решения:

• разбиение текста на блоки (проблема расширение последнего блока);

• размещение текста в таблице (число столбцов = длина ключа, число строк = длина текста / длина ключа), перестановка столбцов в соответствии с ключом, чтение текста по строкам.

Недостатки:

• сохраняются частотные характеристики открытого текста,

• недостаточное количество возможных ключей.

2. замена/подстановка: символы открытого текста заменяются другими символами того же или другого алфавита. Виды: одноалфавитные и многоалфавитные.

Одноалфавитные подстановки

Пусть k – ключ, {A_i | i = 1, …, n-1} – алфавит символов открытого текста.

E_k(A_i) = A_{i+k{mod n}}

D_k(A_i) = A_{i-k{mod n}}= A_{i+n-k{mod n}}= E_n-k(A_i)

Многоалфавитные подстановки

k = k₁k₂…k_n

E_kj(A_i) = A_{i+kj{mod n}}

Одинаковые символы открытого текста становятся разными в шифртексте.

Разновидность – шифры кодировочной книги. Ключ – некоторый текст. Шифртекст состоит из символов: N₁N₂N₃ (N₁ – номер страницы, N₂ – номер строки, N₃ – позиция в строке).

Побайтное шифрование:

c_i+1 = p_i + p_i+1

3. гаммирование

p = p₁p₂…p_n

Создается гамма шифра – псевдослучайная последовательность.

G = G₁G₂…G_n

C_i= p_iG_i

p_i= c_iG_i= p_iG_iG_i= p_i

Современные симметричные криптосистемы:

• потоковые шифры – шифрование байт за байтом. Основа – как правило, гаммирование. RC4 (Rivest Cipher), SEAL;

• блочные шифры (подавляющее большинство) – текст разбивается на блоки одинаковой длины (обычно 64 бита); многократно для каждого блока:

• первоначальная перестановка,

• гаммирование + замена,

• конечная перестановка.

Количество перестановок: 8-32. Возможно, на блок перед шифрованием накладывается предыдущий блок. Для этого нужен вектор инициализации, который накладывается на 1-й блок.