5. Свободные и связанные сети. Вложение сетей.

Определение 2.4. Сеть называется свободной (-сетью), если ее -граф– пустой.

Определение 2.5. Сеть называется связанной (-сетью), если ее -граф– полный.

Определение 2.6. Сеть вложима в сеть (обозначается), если и только если существует всюду определенное на(тотальное) отображение, такое, что

• ;

• ;

• ;

• 

Так как содержит только двухэлементные подмножества, то требуемое отображениетаково, что.

Определение 2.7. Сеть называетсяподсетью сети , еслии отображениев определении вложения является взаимно однозначным.

Теорема 2.3. Если и–-сети, то вложима втогда и только тогда, когдаявляется подсетью.

Отметим, что исключение константы из числа элементарных констант позволяет с помощью операций последовательной и параллельной композиции получить в точности подкласс -сетей.

Определение 2.8. Основными точками сети назовем ее точки, являющиеся либо ее входами, либо ее выходами, либо входами или выходами ее элементов. Множество основных точек сети обозначается далее.

Определение 2.9. Подсеть сети, где– проекцияна, называетсяосновой сети .

Определение 2.10. Сеть, являющаяся своей основой, называется основной.

6. Сетевые языки.

Определение 2.10. Сетевым языком арности ,, в базисе элементов называется множество сетей арности в базисе .

Для задания сетевых языков могут быть использованы формальные системы, аналогичные тем, которые применяются для конструктивного задания множеств слов в некотором алфавите, например, регулярные выражения, грамматики Хомского, в том числе контекстно-свободные грамматики, и т.д.

Рассмотрим вначале задание регулярных сетевых языков с помощью регулярных сетевых выражений. Синтаксически язык регулярных сетевых выражений строится так же, как язык схем -отношений в сигнатуре .

Определим сетевую интерпретацию таких схем нижеследующим образом, выбрав в качестве базиса множество символов переменных соответствующих арностей (точнее, каждый раз нас интересует конечное подмножество свободных переменных рассматриваемой схемы):

1) для констант из  , где  – одноименная с сеть из (см. рис. 2.4);

2) для переменных  , где– сеть из множества(см. рис. 2.4);

3) . Отметим, что еслине определено, то соответствующая пара не вносит нового элемента в множество;

4) ;

5) ;

6) , где , .

Аналогия с известной алгеброй регулярных множеств слов очевидна: последовательная композиция играет роль операции конкатенации, объединение сохраняет свой смысл, а операция параллельной композиции редуцируется до уровня элементарных подформул вида , где – переменные или константы, применением аксиом 2 исчисления сильного включения схем-отношений, и новых аксиом, вводимых для языков с операцией итерации (продолжая нумерацию аксиом)³:

34. , 3, 7, 31, 32 введенного в первой главе,

35. ,

из которых для схемы арности и схемы арности могут быть получены правила редукции («спуска» операциидо уровня элементарных формул):

или

;

или

.

В качестве второго примера способа задания сетевых языков рассмотрим контекстно-свободные сетевые грамматики. Для того, чтобы воспользоваться аналогией с известными КС-грамматиками, задающими класс контекстно-сво-бодных формальных языков в некотором алфавите, мы должны определить операцию подстановки.

Определение 2.11. Результат подстановки сетив сетьвместо элемента, такого, что его арность совпадает с арностью сети, есть

Выполнение операции подстановки в графическом представлении сетей иллюстрируется рис.2.6.

Определение 2.12. Сетевой КС-грамматикой называется четверка , где

–терминальный базис,

–нетерминальный базис (ине пересекаются),

–аксиома,

–непустое множество правил вида , где,– сеть в базисе.

Сетевой язык, порожденный сетевой КС-грамматикой, определяется одним из известных способов – индуктивно или дедуктивно. Приведем в качестве примера дедуктивное определение.

Определение 2.13.

, где обозначает выводимость сетииз аксиомы по правилам и вводится следующим образом:

Определение 2.14. Сетевой язык в базисе называется свободным или -языком, если его элементами являются только -сети.

Определение 2.15. Сетевой язык в базисе называется связанным или -языком, если его элементами являются только -сети.