3. Пусть и каждая из плоскостей задана общим уравнением, тогда (4)

(4) задаёт прямую, если , где .

(4) – общее уравнение прямой.

Пусть задана уравнением (5). Покажем, как найти её параметрические уравнения.

Предположим (x₀, y₀,z₀) – какое-нибудь частное решение (4), тогда М₀(x₀, y₀,z₀) . Рассмотрим сначала случай, когда прямая задана общим уравнением в декартовой системе координат. В этом случае α₁, α₂, тогда вектор =[ ]= ‌‌‌‌‌параллелен прямой и является её направляющим вектором. Тогда .

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид:

Основные задачи на прямую и плоскость.

.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O,(е₁,е₂,е₃)}заданы прямая : (1)

и плоскость : Ax+By+Cz+D =0 (2).

Исследуем их взаимное расположение, для этого объединим (1), (2) в систему и решим её относительно x,y,z, подставляя (1) в (2).

A( )+B( )+C( )+D =0

(A +B +C )=-(Ax₀+By₀+Cz₀+D) (3)

(3)– линейное уравнение с t- переменной.

Рассмотрим возможные случаи:

1. ≠0, тогда на его делим и в этом случае (3) имеет следующий вид (4)

(4) =>(1) получим единственную точку пересечения прямой и плоскости .

2) =0, Ax₀+By₀+Cz₀+D≠0. В этом случае уравнение

0t=-( Ax₀+By₀+Cz₀+D)

не имеет решений, а следовательно прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть они параллельны ( ).

3) =0, Ax₀+By₀+Cz₀+D=0, тогда 0t=0 при любом t, то есть любая точка прямой принадлежит плоскости .

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O,(е₁,е₂,е₃)}заданы прямые

₁ : (1) и : (2).

1. =>

2. =>

Рассмотрим две матрицы:

,

1. Прямые и - скрещиваются, тогда и только тогда, когда векторы не комплонарны, то есть =( (смешанное произведение этих векторов не равно нулю).

2. Прямые и лежат в одной плоскости, тогда и только тогда, когда .

Пусть .

а) Прямые и пересекаются, когда не коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов не пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен двум).

б) Прямые и параллельны, тогда и только тогда, когда коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен одному и выполняется условие ).

в) Прямые и совадают, тогда и только тогда, когда все векторы коллинеарны, (две любые строки матрицы В пропорцианальны).

Угол между плоскостями.

Определение.

Углом между двумя плоскостями назовём угол между их нормальными векторами.

₁

 0

Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, т.е.

cos = cos₁.

Определим угол ₁. Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O,(е₁,е₂,е₃)} плоскости заданы плоскости своими общими уравнениями

₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0

₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0

Тогда (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

. (1)

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

(2)

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.