ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

Кафедра прикладной математики

и экономико-математических методов

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебно - Методическое пособие

для студентов инжинерно-технического

факультета ПГУ им. Т.Г. Шевченко

Издательство

Приднестровского

Университета

Тирасполь,2008

УДК

ББК

В-22

Составители:

Л.С. Николаева, ст. преп.

Л.В. Чуйко, канд. Пед. Наук, доц.

Рецензенты:

Курс лекций по алгебре и аналитической геометрии.: Учебно – методическое пособие / Сост.:

Л.С. Николаева, Л.В. Чуйко. – Тирасполь, 2008. – 80 с.

УДК

ББК

В-26

Утверждено Научно-методическим советом ПГУ им. Т.Г. Шевченко

© Николаева Л.С.

Чуйко Л.В.,

составление, 2008

Оглавление.

Раздел: Линейная алгебра.

1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. (4)

2. Алгебра матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение вида AX=B, система линейных уравнений как матричное уравнение(8)

3. Определитель квадратной матрицы.(13)

4. Матричный метод решения систем линейных уравнений.(16)

5. Метод Крамера.(18)

6. Понятие векторного пространства(19)

7. Линейная зависимость и независимость системы векторов(20)

8. Базис и размерность векторного пространства(22)

9. Координатная строка вектора относительно базиса(23)

10. Связь между координатами вектора в разных базисах(24)

11. Подпространство векторного пространства(25)

12. Векторное пространство со скалярным умножением. Определение евклидова пространства(26)

13. Длина вектора. Угол между векторами(26)

14. Ортогональный базис евклидова пространства(27)

15. Ортонормированный базис(28)

16. Линейные отображения (операторы) векторных пространств(29)

17. Матрица линейного оператора(31)

18. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.(33)

Раздел: Аналитическая геометрия.

19. Афинная система координат на плоскости.(33)

20. Полярная система координат. Переход от полярной системы к декартовой и обратно.(36)

21. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости.(37)

22. Угол между прямыми на плоскости.(41)

23. Расстояние от точки до прямой.(42)

24. Кривые второго порядка: окружность(43), эллипс(44), гипербола(46), парабола(48)

25. Афинная система координат в пространстве.(51)

26. Векторное произведение двух векторов.(54)

27. Смешанное произведение трёх векторов.(56)

28. Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости.(58)

29. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.(61)

30. Различные способы задания прямой в пространстве.(62)

31. Взаимное расположение прямой и плоскости.(65)

32. Взаимное расположение двух прямых.(66)

33. Угол между плоскостями.(67)

34. Угол между прямыми в пространстве.(68)

35. Угол между прямой и плоскостью.(69)

36. Расстояние от точки до плоскости.(70)

37. Расстояние от точки до прямой.(71)

38. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.(72)

39. Поверхности второго порядка: цилиндрические поверхности(73), поверхности вращения(74)

40. Цилиндрическая и сферическая системы координат(78)

Алгебра. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.

1. Линейное уравнение. Вид противоречивого линейного уравнения. Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ). Множество решений.

2. Равносильные системы. Следствие системы.

3. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

4. Метод Гаусса решения СЛУ. Распределение неизвестных на главные и свободные.

В общем виде линейное уравнение (уравнение первой степени) имеет вид

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b (1)

где a_i,b R, . x₁,x₂,…,x_n– неизвестные переменные, a_i - коэффициенты при неизвестных, b – свободный член. Не исключается случай, когда уравнение имеет вид

0x₁+0x₂+…+0x_n=b (2)

Решением уравнения (1) называется любой упорядоченный набор чисел l₁,l₂,…,l_n (или вектор (l₁,l₂,…,l_n)), таких что при подстановке их вместо соответствующих неизвестных уравнение (1) обращается в верное равенство

a₁l₁+a₂l₂+…+a_nl_n=b

Очевидно, что при b=0 уравнение (2) имеет любой набор значений неизвестных, а при b≠0 не удовлетворяет не один набор решений. При b=0 уравнение (2) называют тождественным, а при b≠0 противоречивым.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

(3),

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел l₁,l₂,…,l_n (или вектор (l₁,l₂,…,l_n)), таких, что при подстановке их в систему вместо соответствующих переменных они превращают каждое уравнение системы в тождество.

Вычеркнем из записи линейной системы уравнений символы x_i,+,= и отделим коэффициенты при неизвестных от свободных членов вертикальной чертой, получим запись:

Ф такая таблица называется расширенной матрицей системы, матрицей системы назовём таблицу следующего вида

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Для любой системы возможны только три случая:

1. система несовместна;

2. система имеет единственное решение (совместно определённая);

3. система имеет бесчисленное множество решений (совместно неопределённая).

Промежуточный случай, когда решений конечное число, притом больше чем одно, невозможен.

Система S₁ называется следствием системы S₂, если всякое решение системы S₁ является решением системы S₂ или система S₁ несовместна.

Две линейные системы называются равносильными (эквивалентными), если каждая из них является следствием другой, то есть системы равносильны, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями (расширенной) матрицы называют следующие действия над её строками:

1. перестановка i-той и j-той строк. Этому преобразованию соответствует перестановка i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .

2. прибавление к каждому элементу i-той строки, стоящего в том же столбце элемента j- той строки. Этому преобразованию соответствует сложение i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .

3. умножение каждого уравнения i-той строки на некоторое число . Этому преобразованию соответствует умножение i-того уравнения на число . Обозначим это преобразование .

Если J-это преобразование матрицы А, то J=J(A).

Теорема. Элементарные преобразования расширенной матрицы сохраняют эквивалентность соответствующих систем.

Доказательство. Пусть заданы две системы линейных уравнений: система S₁ в виде(3) и система S₂ в виде ( ) с множествами решений М₁ и М₂ соответственно. Причём известно, что расширенная матрица системы S₂ получена элементарными преобразованиями из расширенной матрицы системы S₁. Докажем, что М₁=М₂, то есть М₁ М₂ и М₂ М₁. Докажем сперва

М₁ М₂.

Допустим решение (l₁,l₂,…,l_n) М₁, докажем что (l₁,l₂,…,l_n) М₂. Рассмотрим следующие случаи:

Пусть J=I_ij, это означает, что система S₂ получена из системы S₁ перестановкой i-того и j-того уравнения. Ясно, что при подстановке чисел l₁,l₂,…,l_n в систему S₂ мы получим m верных равенств, но записанных в другом порядке. Следовательно (l₁,l₂,…,l_n) М₂, то есть М₁ М₂.

Пусть J=II_ij, это означает, что уравнения в системе S₂, кроме j-того, остались неизменными. j-тое уравнение имеет вид

В силу того, что (l₁,l₂,…,l_n) - решение S₁, подстановка чисел l_k в её i-тое и j-тое уравнения даёт следующих два верных равенства:

Сложим их почленно и приведём подобные при членах l_k. Получим верное равенство

Легко видеть, что это и есть результат подстановки чисел l_k в j-тое уравнение системы S₂.

Пусть J= , это означает, что уравнения в системе S₂, кроме j-того, остались неизменными, а j-тое уравнение почленно умножается на число и имеет вид

В силу того, что (l₁,l₂,…,l_n) М₁, верно равенство

а значит, и равенство , которое и есть результат подстановки чисел l_k в i-тое уравнение системы S₂. Итак, М₁ М₂.

Прежде чем доказывать обратное включение, заметим, что матрица системы S₁ может быть получена элементарными преобразованиями из матрицы системы S₂. (В самом деле, если две строки переставлены, их можно снова переставить, если к i-той прибавлена j-тая, то i-тую можно умножить на -1, сложить с j-той и потом снова умножить на -1, если строка умножена на , то её можно умножить на . Вот где мы используем то, что .) Тогда, по доказанному, М₂ М₁.