2.1 Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью под давлением Р₀, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н₀ от свободной поверхности (рис.5.1). Жидкость вытекает в воздушное пространство с давлением Pi. Пусть отверстие имеет форму,

Рис. 5.1. Истечение из резервуара через малое отверстие

показанную на рис.5.2, а, т.е. выполнено в виде сверления в тонкой стенке без обработки входной кромки или имеет форму, показанную на рис.5.2, б, т.е. выполнено в толстой стенке, но с заострением входной кромки с внешней стороны. Струя, отрываясь от кромки отверстия, несколько сжимается (рис.5.2, а). Такое сжатие обусловлено движением жидкости от различных направлений, в том числе и от радиального движения по стенке, к осевому движению в струе.

В данном случае, когда боковые стенки и свободная поверхность не влияют на приток жидкости к отверстию, наблюдается совершенное сжатие струи, т.е. наибольшее сжатие в отличие от несовершенного.

Рис (5.2) (а) (б)

3 Расход жидкости при истечении через отверстие

При работе с жидкостью возникает необходимость расчета ис­течения жидкости из отверстий и щелей, предусмотренных конст­рукцией аппарата или появившихся при аварии. Для анализа такого течения рассмотрим истечение жидкости из резервуара через малое круглое отверстие, в тонкой стенке в атмосферу или в пространство, заполненное газом или той же жидкостью. Пусть отверстие рас­положено на достаточно большой глубине Н под уровнем свобод­ной поверхности жидкости и через него жидкость вытекает в воз­душное пространство (рис. 1.12, а).

Это классическая задача, которую исследовал еще Ньютон. В этом течении потенциальная энергия жидкости в поле тяготения Земли превращается в кинетическую энергию струи жидкости. Нас интересует величина скорости, которую достигает жидкость и ее объемный расход. Пусть отверстие имеет острую кромку с внутрен­ней стороны. Частицы жидкости втекают в отверстие по плавным траекториям из всего объема резервуара. Никакая линия тока не имеет нулевого радиуса кривизны, потому что жидкость обладает инерционной массой и для очень малого радиуса поворота необ­ходим очень большой перепад давления. Крайние линии тока от­рываются от стенок и струя несколько сжимается, получив площадь сечения S_c меньшую, чем площадь отверстия S₀. Это отношение площадей называется коэффициентом сжатия струи e=Sc/S0 Анализ уравнения Бернулли дает теоретическое значение для ско­рости истечения идеальной (невязкой) жидкости в виде уравнения Торичелли v=(2gH)^1/2. С учетом потерь механической энергии на трение и вихреобразование скорость истечения оказывается ме­ньше

V=φ(2gH)¹'²,

где — коэффициент скорости, φ=0,97 ч-0,98. Объемный расход жидкости, вытекающей из отверстия,

Q = μS₀(2gH)¹'²,

где ц — коэффициент расхода, который в широком диапазоне зна­чений числа Рейнольдса можно считать равным μ=0,62: μ=φε

Такая же закономерность получается для отверстия, расположен­ного на боковой вертикальной стенке сосуда (см. рис. 1.12, б). Здесь под величиной Н следует понимать расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площади сечения малого отверстия.

В случае больших отверстий, вертикальный размер сечения ко­торых сравним с высотой Н, уже нельзя считать, что напор H оста­ется постоянным для всех точек сечения. Рассмотрим случай прямо­угольного отверстия шириной сечения Ь и высотой H, меняющейся от значения H1 до Н_г. Элементарный слой жидкости с высотой dh, находящийся ниже свободной поверхности на величину h, будет иметь объемный расход

dQ=μb dh

рис 1.12

Рис. 1.13. Схема течения воды через не затопленный водослив с тонкой стенкой

Интегрируя это равенство по h от значения напора H1 до значения H2 получим для объемного расхода через все прямоугольное отверстие Q= (2/3)μb 2g [H2³'²-H1³'²].

Если струя жидкости пере­ливается через вырез в стенке, расположенной перпендикуля­рно потоку, то такое течение называется водосливом. Од­ним из наиболее простых явля­ется водослив с тонкой стенкой, приведенный на рис. 1.13.

Высота превышения поверхности воды верхней кромки стенки, обозначен­ная на рис. 1.13 через H, называется статическим напором водосли­ва. Ширину водослива, измеряемую в направлении, перпендикуляр­ном плоскости рисунка, обозначим через Ь. Нижним бьефом назы­вается часть потока, расположенная ниже стенки по течению.

Будем рассматривать водослив с тонкой стенкой, в котором уровень жид­кости в нижнем бьефе расположен ниже ребра стенки. Такой водо­слив называется незатопленным.

Основной величиной, интересующей инженера, является объем­ный расход жидкости через водослив. Он определяется по теории истечения жидкости из отверстия, если в последней формуле для прямоугольного отверстия положить H1 = 0, H₂ = H,

Q = (2/3)μb 2gH³'².

Обозначая через т величину (2/3)д, получим основную зависимость теории водосливов

Q=mb(2g)^ll2H³¹²,

где т — коэффициент расхода водослива. Эксперименты дают зна­чения т в пределах 0,42 — 0,50 для течений воды в водосливе метровых размеров.