5. Приклад розв’язання незбалансованої транспортної задачі

За наведеними в таблиці витратами на перевезення одиниці вантажу від пунктів постачання A₁, A₂, A₃ до пунктів споживання B₁, B₂, B₃, B₄ а також обсягами запасів продукції в пунктах постачання та її попиту в пунктах споживання знайти оптимальний план транспортної задачі.

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання				Обсяг запасів продукції
	B1	B2	B3	B4
A1 A2 A3	3 5 2	3 3 1	2 1 4	4 2 2	180 60 80
Попит	120	40	50	80

Розв’язання. Оскільки попит не дорівнює запасам вводимо фіктивний пункт споживання з попитом 320-290=30 та нульовими вартостями.

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання					Обсяг запасів продукції
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	3	3	2	4	0	180
A2	5	3	1	2	0	60
A3	2	1	4	2	0	80
Попит	120	40	50	80	30	320

Побудуємо математичну модель: знайти x_ij- обсяги перевезення вантажу з i-го пункту постачання в j-й пункт споживання ( ), при яких цільова функція

z=3x₁₁+3x₁₂+2x₁₃+4x₁₄+0x₁₅+5x₂₁+3x₂₂+x₂₃+2x₂₄+0x₂₅+2x₃₁+x₃₂+4x₃₃+2x₃₄+0x₃₅ набуватиме мінімального значення при обмеженнях:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅=180,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅=60,

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅=80,

x₁₁+x₂₁+x₃₁=120,

x₁₂+x₂₂+x₃₂=40,

x₁₃+x₂₃+x₃₃=50,

x₁₄+x₂₄+x₃₄=80,

x₁₅+x₂₅+x₃₅=30,

Визначимо опорний план методом мінімальних вартостей. Фіктивний стовпець розглядається останнім. В правих верхніх кутах записано витрати, в лівих нижніх – опорний план.

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання					Обсяг запасів продукції
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	3 120	3	2	4 30	0 30	180|60|30|0
A2	5	3	1 50	2 10	0	60|10|0
A3	2	1 40	4	2 40	0	80|40|0
Попит	120 0	40 0	50 0	80 40 30 0	30 0	320

Базисних клітинок 3+5-1=7. Тепер скористаємось методом потенціалів.

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання					Обсяг запасів продукції
	V1	V2	V3	V4	V5
U1	3 120	3	2	4 30	0 30	180
U2	5	3	1 50	2 10	0	60
U3	2	1 40	4	2 40	0	80
Попит	120	40	50	80	30	320

u₁+v₁=3 u₁+v₄=4 u₁+v₅=0

u₂+v₃=1 u₂+v₄=2

u₃+v₂=1 u₃+v₄=2

Покладемо u₁=0 Знайдемо інші невідомі.

u₁=0 v₁=3

u₂= -2 v₂= 3

u₃= -2 v₃= 3

v₄=4

v₅=0

Для небазисних клітинок знайдемо ∆_ij=u_i+v_j-c_ij.

∆₁₂=0+3-3=0 ∆₁₃=1 ∆₂₁= -6 ∆₂₂= -2 ∆₂₅= -2 ∆₃₁= -1 ∆₃₃= -3 ∆₃₅= -2

Оскільки є додатне ∆_ij план не оптимальний. Будуємо цикл перерахунку.

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання					Обсяг запасів продукції
	V1	V2	V3	V4	V5
U1	3 120	3	2 +	4 30 -	0 30	180
U2	5	3	1 50 -	2 10 +	0	60
U3	2	1 40	4	2 40	0	80
Попит	120	40	50	80	30	320

Пункт постачання	Витрати на перевезення одиниці вантажу до пункту споживання					Обсяг запасів продукції
	V1	V2	V3	V4	V5
U1	3 120	3	2 30	4	0 30	180
U2	5	3	1 20	2 40	0	60
U3	2	1 40	4	2 40	0	80
Попит	120	40	50	80	30	320

u₁+v₁=3 u₁+v₃=2 u₁+v₅=0

u₂+v₃=1 u₂+v₄=2

u₃+v₂=1 u₃+v₄=2

Покладемо u₁=0 Знайдемо інші невідомі.

u₁=0 v₁=3

u₂= -1 v₂=2

u₃= -1 v₃= 2

v₄=3

v₅=0

Для небазисних клітинок знайдемо ∆_ij=u_i+v_j-c_ij.

∆₁₂=0+2-3= -1 ∆₁₄= -1 ∆₂₁= -3 ∆₂₂= -2 ∆₂₅= -1 ∆₃₁= 0 ∆₃₃= -1 ∆₃₅= -1

Оскільки всі ∆_ij≤0 план оптимальний.

Z_min=120*3+30*2+20*1+40*2+40*1+40*2=360+60+20+80+40+80=640.

Варто перевозити: 120 одиниць продукції з 1-го пункту виробництва в 1-й пункт споживання, 30 одиниць продукції з 1-го пункту виробництва в 3-й пункт споживання, 20 одиниць продукції з 2-го пункту виробництва в 3-й пункт споживання, 40 одиниць продукції з 2-го пункту виробництва в 4-й пункт споживання, 40 одиниць продукції з 3-го пункту виробництва в 2-й пункт споживання, 40 одиниць продукції з 3-го пункту виробництва в 4-й пункт споживання. В 1-му пункті виробництва залишиться 30 одиниць продукції. При такому плані перевозок отримаємо мінімальні витрати - 640 грошових одиниць.