4. Побудова двоїстої задачі
Кожній задачі лінійного програмування
(1.7)
(1.8)
,
(1.9)
можна поставити у відповідність іншу задачу, яка називається двоїстою за відношенням до першої (поданої)
(1.10)
(1.11)
,
(1.12)
Спільний розгляд таких пар задач дозволяє дослідити вплив початкових даних на зміну шуканих величин та значення цільової функції, провести економічний аналіз результатів розрахунків.
Двоїста задача формується після того, як записана модель початкової задачі згідно з такими правилами:
- якщо початкова задача є задачею максимізації, то її двоїста буде задачею мінімізації і навпаки;
- вектор вартостей початкової задачі стає вектором обмежень двоїстої;
- вектор обмежень початкової задачі стає вектором вартостей двоїстої;
- матриця умов транспонується, тобто міняються місцями рядки і стовпці;
- число шуканих величин початкової задачі стає числом обмежень двоїстої і число обмежень початкової задачі – числом шуканих величин двоїстої;
- взаємно однозначна відповідність між змінними початкової задачі і обмеженнями двоїстої задачі задовольняють такі співвідношення:
- j-те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, якщо на j-ту змінну початкової задачі покладена умова невід’ємності, якщо ж j-та змінна необмежена в знаку, j-те обмеження буде рівністю.
Приклад 1.7. Скласти двоїсту задачу до заданої:
,
,
.
Щоб записати двоїсту задачу, обмеження початкової задачі приведемо до вигляду нерівностей типу ≤ і рівностей. Маємо:
двоїста задача матиме вигляд:
5. Економічна інтерпретація задач двоїстої пари
Дамо економічну інтерпретацію задач двоїстої пари. Нехай початкова задача є вже нам відомою задачею визначення оптимальної виробничої програми підприємства. Для зручності розгляду нового матеріалу повторимо цю задачу.
Підприємство
може випускати n найменувань виробів
(j=
).
Для цього є m видів ресурсів (i=
).
Кожного типу ресурсу є обмежена кількість.
Визначимо його через bi.
Відома норма витрати i-го ресурсу на
одиницю j-го виробу aij
(i=
,j=
).
Відомо, що від реалізації одиниці j-го
виробу підприємство може отримати
прибуток в обсязі cj
(j=
).
Потрібно визначити асортимент і обсяги
продукції, що випускається, щоб
підприємство тримало максимум прибутку.
Позначимо через xj
–
обсяг j-го типу виробів, який планує
підприємство. Тоді математична модель
буде така.
,
.
Тоді двоїста задача:
.
В двоїстій парі використовуються ті самі складові, значення яких відомі. Треба визначити значення шуканих величин yi, ( ).
З тверджень для двоїстої пари маємо, що
.
Оскільки
Z обчислюється в грошах, то і Z1
має означати грошові одиниці. bj
– об’єм ресурсу, тоді yj
може бути ціною ресурсу. Перевіримо цю
думку для обмежень. cj
– прибуток - грошова одиниця, aij
– певний об’єм ресурсу. Якщо yj
– ціна ресурсу, то
буде означати витрату ресурсів в
грошовому вираженні на одиницю виробів.
Отже, дійсно yj
– ціна одиниці ресурсу. Однак ця ціна
визначається після того, як обчислена
величина прибутку cj,
яка вже містить ціни ресурсів. Тому yj
не може бути дійсною ціною ресурсу, yj
прийнято називати обліковими або
фіктивними цінами ресурсів.
Розглянемо інші твердження. Оскільки yi ( ) являють собою ціни ресурсів, то - витрати на одиницю виробів, які в свою чергу порівнюються з величиною прибутку.
Якщо при цьому для якогось типу виробів витрати перевищують прибуток, то даний виріб невигідно виготовляти. Цим підтверджується нерентабельність продукції. Продукція вважається рентабельною (потрібно її випускати), якщо витрати на її виготовлення при оптимальних облікових цінах дорівнюють прибутку.
Дефіцитність ресурсів підтверджується значеннями оптимальних облікових цін. Якщо якась облікова ціна дорівнює нулю, то її відповідний ресурс недефіцитний, і, навпаки, якщо облікова ціна відмінна від нуля, - ресурс дефіцитний.
Теорія двоїстості дозволяє вести аналіз на чутливість значення цільової функції від зміни значення дефіцитного ресурсу. Якщо дефіцитний ресурс збільшити на одиницю, то величина прибутку збільшиться на значення облікової ціни цього ресурсу.
Приклад 1.8. Виготовлення виробів А і В може здійснюватися різними технологічними процесами. Витрати ресурсів і прибуток від одиниці виробу залежать від того, яким технологічним процесом виготовляються вироби. Потрібно визначити, скільки та яких виробів необхідно виготовляти таким технологічним процесом, щоб отримати максимальний прибуток, витрачаючи ресурси, що є. Числові дані такі:
Таблиця 1.6
Ресурси |
На виріб А |
На виріб В |
Наявність ресурсів |
||
Технологічний процес |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
Кількість людино-тижнів |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
Кількість матеріалу №1 |
7 |
5 |
3 |
2 |
120 |
Кількість матеріалу №2 |
3 |
5 |
10 |
15 |
100 |
Прибуток з одиниці продукції |
4 |
5 |
9 |
11 |
|
Позначимо x1 – обсяг випуску виробу А першим технологічним процесом, x2 - обсяг випуску виробу А другим процесом, x3 - обсяг випуску виробу В третім процесом, x4- обсяг випуску виробу В четвертим процесом. Побудуємо задачу лінійного програмування:
Z=max(3x1+5x2+9x3+11x4)
x1+x2+x3+x4≤15
7x1+5x2+3x3+2x4≤120
3x1+5x2+10x3+15x4≤100
Приведемо задачу до канонічного виду:
Z=max(3x1+5x2+9x3+11x4)
x1+x2+x3+x4+x5=15
7x1+5x2+3x3+2x4+x6=120
3x1+5x2+10x3+15x4+x7=100
,
де x5 – залишок людино-тижнів,
x6 – залишок матеріалу №1,
x7 – залишок матеріалу №2.
Після приведення задачі до канонічного виду її можна розв’язати симплекс-методом:
Таблиця 1.7
c |
3 |
5 |
9 |
11 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
b |
c |
x5 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
15,00 |
0 |
x6 |
7,00 |
5,00 |
3,00 |
2,00 |
0,00 |
1,00 |
0,00 |
120,00 |
0 |
|x7 |
3,00 |
5,00 |
10,00 |
15,00 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
100,00 |
0 |
z |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
c-z |
3,00 |
5,00 |
9,00 |
11,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
|x4 |
0,20 |
0,33 |
0,67 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,07 |
6,67 |
11 |
x5 |
0,80 |
0,67 |
0,33 |
0,00 |
1,00 |
0,00 |
-0,07 |
8,33 |
0 |
x6 |
6,60 |
4,33 |
1,67 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
-0,13 |
106,67 |
0 |
z |
2,20 |
3,67 |
7,33 |
11,00 |
0,00 |
0,00 |
0,73 |
73,33 |
|
c-z |
0,80 |
1,33 |
1,67 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
-0,73 |
|
|
x3 |
0,30 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
0,00 |
0,00 |
0,10 |
10,00 |
9 |
|x5 |
0,70 |
0,50 |
0,00 |
-0,50 |
1,00 |
0,00 |
-0,10 |
5,00 |
0 |
x6 |
6,10 |
3,50 |
0,00 |
-2,50 |
0,00 |
1,00 |
-0,30 |
90,00 |
0 |
z |
2,70 |
4,50 |
9,00 |
13,50 |
0,00 |
0,00 |
0,90 |
90,00 |
|
c-z |
0,30 |
0,50 |
0,00 |
-2,50 |
0,00 |
0,00 |
-0,90 |
|
|
x2 |
1,40 |
1,00 |
0,00 |
-1,00 |
2,00 |
0,00 |
-0,20 |
10,00 |
5 |
x3 |
-0,40 |
0,00 |
1,00 |
2,00 |
-1,00 |
0,00 |
0,20 |
5,00 |
9 |
x6 |
1,20 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
-7,00 |
1,00 |
0,40 |
55,00 |
0 |
z |
3,40 |
5,00 |
9,00 |
13,00 |
1,00 |
0,00 |
0,80 |
95,00 |
|
c-z |
-0,40 |
0,00 |
0,00 |
-2,00 |
-1,00 |
0,00 |
-0,80 |
|
|
Zmax=Z(0;10;5;0;0;55;0)=95. Це означає, що виріб А слід виготовляти другим процесом в обсязі 10 одиниць, виріб В – третім процесом в обсязі 5 одиниць. Величина прибутку становитиме 95 одиниці. Кількість людино-тижнів використовується повністю, матеріал №1 залишається в обсязі 55 одиниць, а матеріал №2 використовується повністю.
Двоїста задача матиме вигляд:
Z1=min(15y1+120y2+100y3)
y1+7y2+3y3≥3
y1+5y2+5y3≥5
y1+3y2+10y3≥9
y1+2y2+15y3≥11
З рядка z симплекс-таблиці на перетині з стовпцями x5, x6, x7 знаходимо розв’язок двоїстої задачі.
y1=1; y2=0; y3=0,80;
Z1=15*1+120*0+100*0,80=95 збігається із значенням цільової функції початкової задачі.
Матеріал №1 є недефіцитним ресурсом, а матеріал №2 та людино-тижні є дефіцитними ресурсами. Збільшення людино-тижнів на 1 приведе до збільшення прибутку на 1 одиницю. Збільшення матеріалу №2 на 1 приведе до збільшення прибутку на 0,80 одиниці.
Продукцію А першим технологічним процесом та продукцію В четвертим процесом виготовляти нерентабельно.