36

Теоретичний матеріал

для виконання практичних завданнь

з дисципліни: «Математичне програмування»

Теоретичний матеріал для виконання завдання №1

1. Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування

2. Перетворення задачі лінійного програмування до канонічної форми запису

3. Розв’язання задачі лінійного програмування симплекс-методом

4. Побудова двоїстої задачі

5. Економічна інтерпретація задач двоїстої пари

6. Дослідження чутливості величини прибутку при зміні ресурсів

1. Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування

Задачі, у яких потрібно знайти такі значення невідомих, при яких досягається максимум (мінімум) деякої цільової функції при виконанні обмежень на значення невідомих, називаються задачами математичного програмування. У задачах лінійного програмування цільова функція й обмеження задаються лінійними виразами щодо невідомих.

Розглянемо приклади побудови математичних моделей задач лінійного програмування.

Приклад 1.1. Задача виробничого планування.

Підприємство має ресурси сировини, робочої сили й устаткування, необхідні для виробництва кожного з чотирьох видів товарів. Потрібно скласти план виробництва товарів, що забезпечує максимальний прибуток. Витрати ресурсів на виготовлення одиниці товару кожного виду, запаси ресурсів і прибуток, одержуваний підприємством від реалізації товарів, приведені в табл. 1.1:

Таблиця 1.1

Вид товару	Вид ресурсу	1	2	3	4	Об'єм ресурсів
Сировина (кг)		3	5	2	4	60
Робоча сила (люд – год.)		22	14	18	30	400
Обладнання (верст – год.)		10	14	8	16	180
Прибуток за одиницю товару (грн.)		30	25	56	48

Уведемо позначення:

n – число видів товару;

m – число видів ресурсів;

a_ij – норма витрати і - го ресурсу на виробництво одиниць j- го товару;

b_i - запас і - го ресурсу;

c_j - прибуток за одиницю товару j - го виду;

x_j - кількість зробленого товару j - го виду.

Тоді математична модель задачі буде наступною:

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n(max)- цільова функція;

a_i1x₁+…+a_inx_n b_i, i= - основні обмеження;

x_j 0, j= - обмеження невід’ємності.

Підставляючи дані конкретної задачі, одержимо:

30x₁+25x₂+56x₃+48x₄ max;

3x₁+5x₂+2x₃+4x₄ 60;

22x₁+14x₂+18x₃+30x₄ 400;

10x₁+14x₂+8x₃+16x₄ 180;

x₁ 0, x₂ 0, x₃ 0, x₄ 0.

Приклад 1.2. Визначення найкращого складу суміші.

Потрібно скласти суміш кормів для харчування тварин таким чином, щоб у суміші була необхідна кількість живильних речовин, а сумарна вартість суміші була мінімальною. Зміст живильних речовин, норми їхнього споживання і ціни кормів приведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Живильні речовини	Продукти	Білок (г/кг)	Кальцій (г/кг)	Вітаміни (г/кг)	Ціна (грн/кг)
Сіно		50	6	2	3
Силос		20	4	1	2
Концентрати		180	3	1	5
Норми споживання (г)		2000	120	40

Уведемо позначення:

m - число необхідних живильних речовин;

n - число видів кормів;

a_ij - зміст і – тої живильної речовини в j - м виді корму;

b_i - мінімальна потреба в і - тій живильній речовині;

c_j - вартість одиниці j - го виду корму;

x_j - кількість одиниць j - го виду корму.

Математичну модель задачі запишемо в такий спосіб:

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n(min)- цільова функція;

a_i1x₁+…+a_inx_n b_i, i= - основні обмеження;

x_j 0, j= - обмеження невід’ємності.

З огляду на дані конкретної задачі, одержимо:

3x₁+2x₂+5x₃(min)

50x₁+20x₂+180x₃ 2000;

6x₁+4x₂+3x₃ 120;

2x₁+x₂+x₃ 40;

x₁ 0; x₂ 0; x₃ 0.