МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Волгоградский государственный технический университет» Камышинский технологический институт (филиал)

ГОУ ВПО «ВолгоградскИЙ государственнЫЙ техническИЙ университет»

Математика

Учебное пособие для студентов заочной формы обучения

направления 38.03.02 – «Менеджмент»

высшего образования

Волгоград

2011

УДК

Рецензенты:

Математика: учебное пособие для студентов заочной формы обучения направления 38.03.02 – «Менеджмент» /Сост. Е.В. Морозова, С.В.Мягкова – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 92 с.

ISBN

Учебное пособие ставит своей целью оказать помощь студентам заочной формы обучения в организации самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений, компетенций в объеме действующей программы. Пособие содержит методические указания и контрольные задания

Ил. 5. Табл. 4. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

ISBN © Волгоградский

государственный

технический

университет, 2010

Введение

Учебное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по направлению 080200 – «Менеджмент».

В процессе изучения дисциплины студенты должны усвоить основные понятия, утверждения и методы, изложенные в программе.

Усиленный поток научной информации, математизация наук требует постоянного совершенствования подготовки специалистов с современным математическим образованием. Стране нужны специалисты нового типа, высокой квалификации, с широким теоретическим кругозором, способные быстро осваивать новое в науке и технике.

Основная задача дисциплины состоит в том, чтобы дать студентам комплекс математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных и специальных дисциплин, для использования в практической деятельности, для развития логического мышления.

В соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта ВПО по направлению – «Менеджмент организации» в области математики студент должен:

знать:

– основные понятия и инструменты алгебры и геометрии,

– математического анализа,

– теории вероятностей и математической статистики;

уметь:

– решать типовые математические задачи,

– использовать математический язык и математическую символику,

– обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные,

Рекомендации по выполнению контрольной работы

В процессе изучения дисциплины «Математика» студенты должны выполнить 2 контрольные работы. Данное пособие содержит задания для контрольных работ, а также необходимые для выполнения контрольных работ теоретические сведения и примеры решения задач. Номер варианта контрольной работы, которую должен выполнить каждый студент, определяет преподаватель, ведущий дисциплину «Математика». Номера вариантов сообщаются студентам на установочной лекции (они соответствуют последней цифре студенческого билета и зачетной книжки).

При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими правилами:

1. Контрольную работу выполняют в отдельной ученической тетради в клетку (12 или 18 листов). Страницы в тетради следует пронумеровать и оставить поля 2-3 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист установленного образца.

3. Работу выполняют чернилами синего цвета, аккуратно, разборчиво. Чертежи выполняют карандашом с использованием чертежных инструментов, аккуратно, соблюдая масштаб.

4. Каждое задание выполняют с новой страницы. Записывают номер задания и полное условие. Решение записывают с новой строки после слова Решение.

5. Решение каждого задания должно сопровождаться подробными пояснениями. Необходимо записывать используемые формулы.

6. В конце работы записывается список используемой литературы.

7. Контрольная работа должна быть выполнена в срок в соответствии с учебным планом.

8. Работа, выполненная не по своему варианту или неправильно оформленная, не проверяется и возвращается студенту без рецензии.

9. Если в контрольной работе допущены ошибки или имеют место замечания преподавателя, то студент должен внести исправления и сдать работу для повторной проверки.

Задания к контрольным работам

Контрольная работа №1

Задание 1 - 10.

Решить систему уравнений тремя способами:

1) Пользуясь формулами Крамера.

2) Матричным методом.

3) Методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса).

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание 11 - 20.

Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1) Длину стороны АВ.

2) Внутренний угол А в радианах с точностью до двух знаков после запятой.

3) Уравнение медианы СМ.

4) Уравнение высоты СК.

5) Точку пересечения высот (т. F).

6) Площадь треугольника АВС.

Сделать чертеж.

11. А(-8;-3), B(4;-12), C(8;10) 16. A(-5;7), B(7;-2), C(11;20)

12. A(-12;-1), B(0;-10), C(4;12) 17. A(-10;9), B(2;0), C(6;22)

13. A(0;2), B(12;-7), C(16;15) 18. A(-9;6), B(3;-3), C(7;19)

14. A(1;0), B(13;-9), C(17;13) 19. A(-4;10), B(8;1), C(12;23)

15. A(2;5), B(14;-4), C(18;18) 20. A(-1;4), B(11;-5), C(15;17)

Задание 21-25.

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L.

Вариант	М	L	Вариант	М	L
21.	(3;2;1)		26.	(-4;5;-2)
22.	(2;-1;3)		27.	(5;-2;3)
23.	(1;-3;-2)		28.	(-1;-3;-2)
24.	(-4;2;-3)		29.	(2;-5;-4)
25.	(-4;5;2)		30.	(4;3;-5)

Задание 31-40.

Построить кривые по заданным уравнениям:

Вариант	Уравнения	Вариант	Уравнения
31.		36.
32.		37.
33.		38.
34.		39.
35.		40.

Задание 41-50.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

41. а) ; б) ;

в) ; г) .

42. а) ; б) ;

в) ; г) .

43. а) ; б) ;

в) ; г) .

44. а) ; б) ;

в) ; г) .

45. a) ; б) ;

в) ; г) .

46. a) ; б) ;

в) ; г) .

47. а) ; б) ;

в) ; г) .

48. а) ; б) ;

в) ; г) .

49. а) ; б) ;

в) ; г) .

50. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание 51-60.

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график.

51. ;	56. ;
52. ;	57. ;
53. ;	58. ;
54. ;	59. ;
55. ;	60. ;

Задание 61-70.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

61. Дана функция . Показать, что

62. Дана функция . Показать, что .

63. Дана функция . Показать, что .

64. Дана функция . Показать, что .

65. Дана функция . Показать, что .

66. Дана функция . Показать, что .

67. Дана функция . Показать, что .

68. Дана функция . Показать, что .

69. Дана функция . Показать, что .

70. Дана функция . Показать, что .

Задание 71-80.

Даны функция z=(x;y), точка А ( ) и вектор а. Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора ā.

71. A (1; 1), ā = 2i – j

72. A (2; 1), ā = 3i – 4j

73. A (1; 1), ā = 3i + 2j

74. A (1; 1), ā = 2i – j

75. A (2; 1), ā = i + 2j

76. A (2; 3), ā = 4i – 3j

77. A (1; 2), ā = 5i – 12j

78. ; A (1; 3), ā = 2i – j

79. A (-1; 2). ā = 4i – 3j

80. A (1; 1), ā = 2i + j

Задание 81-90.

Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов.

Вариант	Линейная зависимость						Вариант	Линейная зависимость
81	xi	1,0	1,5	2,0	9,0	3,2	86	xi	2,1	2,3	3,1	3,8	4,5
	yi	8,1	9,0	11,2	13,8	14,7		yi	-9,3	-7,2	-13,4	-16,1	-18,9
82	xi	0,3	0,5	0,8	1,1	2,3	87	xi	1,1	2,1	3,4	4,3	4,9
	yi	1,4	0,7	-0,9	-2,3	-8,8		yi	-0,8	1,2	3,8	5,4	6,7
83	xi	0,5	0,8	1,2	1,3	4,0	88	xi	10,1	11,5	13,6	16,2	17,5
	yi	6,3	7,0	9,0	9,3	16,8		yi	0,9	0,8	0,6	0,3	0,2
84	xi	1,2	1,7	3,3	4,1	4,3	89	xi	0,1	0,3	0,5	1,2	2,1
	yi	-3,1	-5,6	-17,1	-23,1	-24,8		yi	1,0	1,1	1,2	1,4	1,6
85	xi	0,7	0,9	1,3	1,6	2,3	90	xi	3,2	4,1	5,3	6,7	7,3
	yi	7,0	8,0	9,0	10,0	12,0		yi	1,6	1,4	1,1	0,9	0,7

Контрольная работа №2

Задание 1.

1. Найти неопределенный интеграл (табл. 1).

2. Вычислить определенный интеграл (табл. 2).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (табл. 3).

Таблица 1.

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	а) dx; б) .	6	а) ; б) .
2	а) ; б) .	7	а) ; б) dx.
3	a) dx; б) .	8	a) ; б) .
4	a) ; б) .	9	a) ; б) dx.
5	a) dx; б) .	10	а) ; б) .

Таблица 2.

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	;	6	;
2	;	7	;
3	;	8	;
4	;	9	;
5	;	10	.

Таблица 3.

Вариант	Уравнения линий	Вариант	Уравнения линий
1	, , х=1	6	,
2	,	7	,
3	,	8	,
4	,	9	,
5	,	10	,

Задание 2.

1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 4). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?

2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 5). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?

3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n₁ с первого завода, n₂ со второго, n₃ с третьего (табл. 6). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p₁, на втором p₂, на третьем p₃. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

4. Дано распределение дискретной случайной величины Х (табл. 7). Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

5. В городе имеются N оптовых баз (табл. 8). Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно M(X), среднее квадратичное отклонение σ(X) (табл. 9). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (a, b).

Таблица 4.

Вариант	N	n	m	k	Вариант	N	n	m	k
1	20	4	5	2	6	20	6	4	1
2	30	5	5	3	7	30	4	3	2
3	20	5	4	2	8	16	4	3	2
4	25	6	5	3	9	18	6	5	3
5	15	4	3	2	10	12	5	4	2

Таблица 5.

Вариант	n	k	m	Вариант	n	k	m
1	20	6	2	6	10	4	2
2	18	8	3	7	18	6	3
3	16	6	2	8	22	8	2
4	14	5	3	9	24	10	3
5	12	4	3	10	26	6	2

Таблица 6.

Вариант	n1	p1	n2	p2	n3	p3	Вариант	n1	p1	n2	p2	n3	p3
1	25	0,9	35	0,8	40	0,7	6	40	0,8	30	0,8	30	0,9
2	15	0,8	25	0,7	10	0,7	7	20	0,8	50	0,9	30	0,8
3	40	0,9	35	0,7	25	0,9	8	35	0,7	35	0,8	30	0,9
4	25	0,7	10	0,9	15	0,8	9	15	0,9	45	0,8	40	0,8
5	10	0,9	20	0,8	20	0,6	10	40	0,8	15	0,7	45	0,8

Таблица 7.

Вариант	Числовые данные		Вариант	Числовые данные
1	xi	-5 2 3 4	6	xi	-2 1 3 5
	pi	0.4 0.3 0.1 0.2		pi	0.1 0.3 0.4 0.2
2	xi	0.2 0.5 0.6 0.8	7	xi	-3 2 3 5
	pi	0.1 0.5 0.2 0.2		pi	0.3 0.4 0.1 0.2
3	xi	-6 -2 1 4	8	xi	2 3 10
	pi	0.1 0.3 0.4 0.2		pi	0.1 0.4 0.5
4	xi	0.2 0.5 0.6	9	xi	-4 -1 2 3
	pi	0.5 0.4 0.1		pi	0.3 0.1 0.4 0.2
5	xi	-8 -2 1 3	10	xi	-3 2 3 5
	pi	0.1 0.3 0.4 0.2		pi	0.2 0.4 0.1 0.3

Таблица 8.

Вариант	N	p	Вариант	N	p
1	3	0.25	6	3	0.2
2	4	0.25	7	4	0.3
3	3	0.1	8	3	0.15
4	2	0.2	9	3	0.12
5	4	0.1	10	2	0.3

Таблица 9.

Вариант	M(X)	σ(X)	a	b	Вариант	M(X)	σ(X)	a	b
1	10	1	8	14	6	20	2	17	22
2	12	2	8	14	7	24	1	20	26
3	14	3	10	15	8	26	3	23	27
4	16	2	15	18	9	28	2	24	30
5	18	1	16	21	10	30	1	27	32

Задание 3.

1. Рассчитать и построить гистограмму относительно частот по сгруппированным данным (табл. 10), где m_i − частота попадания вариант в промежуток (x_i, x_i+1].

2. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки (табл. 11).

3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение a₀ является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5%-м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n = 10 получено выборочное средние , а выборочное средние квадратичное отклонение равно S₁ (табл. 12).

4. При уровне значимости α=0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и Y на основе выборочных данных (табл. 13) при альтернативной гипотезе .

5. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X на основании корреляционной таблицы (табл. 14).

Таблица 10.

Вариант	i	xi < X < xi+1	mi	Вариант	i	xi < X < xi+1	mi
1	1 2 3 4 5	2-4 4-6 6-8 8-10 10-12	5 8 16 12 9	6	1 2 3 4 5	5-8 8-11 11-14 14-17 17-20	5 7 4 1 3
2	1 2 3 4 5	3-7 7-11 11-15 15-19 19-23	4 6 9 10 11	7	1 2 3 4 5	4-6 6-8 8-10 10-12 12-14	3 9 7 22 9
3	1 2 3 4 5	-6 − (-2) -2-2 2-6 6-10 10-14	2 8 14 6 10	8	1 2 3 4 5	1-5 5-9 9-13 13-17 17-21	4 5 9 10 2
4	1 2 3 4 5	4-8 8-12 12-16 16-20 20-24	5 7 10 12 6	9	1 2 3 4 5	10-14 14-18 18-22 22-26 26-30	3 16 8 7 6
5	1 2 3 4 5	7-9 9-11 11-13 13-15 15-17	6 5 9 12 11	10	1 2 3 4 5	20-22 22-24 24-26 26-28 28-30	4 6 10 4 6

Таблица 11

Вариант	Распределение		Вариант	Распределение
1	xi	-6 -2 3 6	6	xi	2 6 8 9
	ni	12 14 16 8		ni	20 13 12 5
2	xi	-10 -5 -1 4	7	xi	10 14 16 22
	ni	25 44 16 15		ni	13 24 14 9
3	xi	4 8 16 24	8	xi	3 6 8 14
	ni	31 14 28 27		ni	8 14 10 18
4	xi	430 450 500	9	xi	0.2 0.3 0.5 0.6
	ni	20 18 12		ni	16 11 10 13
5	xi	0.01 0.04 0.08 0.14	10	xi	3150 3170 3200
	ni	19 28 31 22		ni	14 6 20

Таблица 12.

Вариант	a0		S1	Вариант	a0		S1
1	10	12	1	6	60	64	6
2	20	22	4	7	70	66	8
3	20	18	2	8	70	72	5
4	40	44	3	9	50	48	2
5	58	56	4	10	30	34	4

Таблица 13.

Вариант	X		Y		Вариант	X		Y
	xi	ni	yi	mi		xi	ni	yi	mi
1	142 145 146 148	3 1 2 4	140 146 147 151	5 3 2 2	6	6.1 6.5 6.6 7.0 7.4	2 3 1 4 2	5.8 6.0 6.2 6.3 6.8	6 4 5 2 3
2	37 38 40 41 42	2 1 4 3 6	38 39 40 41 43	4 3 2 2 3	7	20 22 23 24 26	3 4 2 2 4	18 19 20 22 23	6 3 4 2 5
3	39 43 45 47 51	4 2 3 4 2	75 80 84 91 94	4 2 3 4 2	8	0.2 0.4 0.8 1.0 1.2	6 4 2 5 3	0.4 0.5 0.9 1.2 1.4	3 5 6 6 6
4	3.5 3.7 3.9 4.0 4.1	1 3 5 4 4	3.6 3.7 3.8 4.4 4.2	3 5 2 1 4	9	31 33 34 38 42	6 2 1 3 2	85 88 95 97 100	1 3 4 2 5
5	9 10 11 12 14	4 5 3 2 1	9 10 11 13 14	5 6 4 8 3	10	15 17 20 21 25	1 3 2 4 6	20 22 23 25 26	4 2 2 3 1

Таблица 14.

Вариант	Корреляционная таблица			Вариант		Корреляционная таблица
1	X Y	10 15 20 25 30 35	6		X Y		10 15 20 25 30 35
	15 25 35 45 55	6 4 6 8 21 2 5 4 12 6 1 5			15 25 35 45 55		6 4 6 8 20 2 5 5 12 6 1 5
2	X Y	20 25 30 35 40 45	7		X Y		5 10 15 20 25 30
	10 20 30 40	4 8 4 2 4 2 10 8 4 10 4			14 24 34 44		4 6 8 4 8 10 6 32 4 12 6
3	X Y	5 10 15 20 25 30 35	8		X Y		12 17 22 27 32 37
	30 40 50 60 70	6 4 2 5 4 5 7 1 4 3 5 6 5 3 10 2 4 10 4 2 8			105 115 125 135 145		3 2 3 1 10 3 5 1 4 8 2 1 1 2
4	X Y	15 20 25 30 35 40	9		X Y		10 15 20 25 30 35
	100 120 140 160	2 1 7 4 2 3 5 10 5 2 3 1 2 3			14 24 34 44 54		4 2 1 2 1 3 8 5 4 2 1 3 3 2 10 3 2 1 3 9 1
5	X Y	20 25 30 35 40 45	10		X Y		10 15 20 25 30 35
	105 115 125 135 145	4 2 1 2 1 3 8 5 4 2 1 3 3 2 10 3 2 1 3 8 2			20 40 60 80 100		1 5 7 4 2 4 6 5 3 5 4 6 10 2 3 5 2 4 4 8 10

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определители матриц второго и третьего порядка

Определителем матрицы второго порядка называется число

Определителем матрицы третьего порядка называется число

Правая часть формулы представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:

«+» «-»

.

Пример.

Вычислить определитель матрицы

.

Решение.

Используя приведенные выше схемы, получаем

=1·5·9+2·6·7+4·8·3-7·5·3-4·2·9-8·6·1=0

Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определители n-го порядка строки и столбца, содержащие элементы .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на :

Пример.

Вычислить определитель, раскладывая его по элементам третьего столбца:

Решение.

.

Решение систем линейных уравнений

Формулы Крамера.

Система n-линейных уравнений с n-неизвестными, в которой число уравнений равно числу неизвестных имеет вид

(1)

Теорема.

Если определитель матрицы системы (1) не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

,

где − определитель матрицы системы;

– определитель, получаемый из определителя Δ заменой к-го столбца столбцом свободных членов

Пример.

Решить систему уравнений

Решение.

Вычислим определитель матрицы системы уравнений:

.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера.

Вычислим определители:

,

.

.

По формулам Крамера находим:

Прямая и плоскость

Прямая на плоскости

У равнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , получают на основе использования скалярного произведения двух векторов.

Рисунок 1. Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная вектору .

Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой (рис 1). Тогда и по условию перпендикулярности векторов

(2)

Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получится общее уравнение прямой

ax + by + c = 0 (3)

где с =

Вектор называется нормальным вектором прямой, заданной уравнением (2) или (3).

Если b ≠ 0, то из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 следует

y = или (4)

где k = -a/b и β= -с/b.

Уравнение (4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Параметр k равен тангенсу угла α наклона прямой к оси Ох (k= tg α ) и называется угловым коэффициентом. Параметр β − ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Если b ≠ 0, то из уравнения (2) получается уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку

где k = -a/b.

Если даны две точки и , лежащие на прямой , то

k =

и уравнение принимает вид

.

Если прямая проходит через две точки М (а, 0) и N (0, b), лежащие на осях координат, то ее уравнение

называется уравнением прямой в отрезках на осях.

У гол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой (рис 2), заданной уравнением y = k₁x + , до прямой , заданной уравнением y = k₂x+ , определяется формулой

Кроме того, для вычисления углов между прямыми (рис. 2), заданными уравнениями

φ

a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0,

справедлива формула

,

где и .

Условие параллельности прямых имеет вид

k₁ = k₂, или a₁/a₂ = b₁/b₂.

Условие перпендикулярности прямых выражается в виде

k₂= -1/k₂, или a₁/a₂ + b₁/b₂ = 0

Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых

a₁x + b₁y +c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0, нужно решить систему уравнений

Расстояние от точки до прямой ax + by + c = 0 находится по формуле

Плоскость

У равнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости α (рис 3).

Т

M

M₀

огда и по условию перпендикулярности векторов получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М₀ и перпендикулярной вектору :

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀) = 0 (5)

После раскрытия скобок в уравнении (5) получается уравнение

ax + by + cz + d = 0, (6)

где d = − ax₀ – by₀ – cz₀.

Уравнение (6) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Вектор ={a, b, c} называется нормальным вектором плоскости, заданной уравнениями (5) или (6).

Если плоскость проходит через три точки М(а, 0, 0), N(0, b, 0) и P(0, 0, c), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид

(7)

Уравнение (7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Угол, образованный двумя плоскостями, находятся по формуле

где − нормальный вектор плоскости a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0,

− нормальный вектор плоскости a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Условие параллельности плоскостей имеет вид

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство

.

Расстояние от точки до плоскости ax + by +cz + d = 0

определяется по формуле

.

Пример.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Решение.

Используя уравнение (5), получаем

4(x-5)+3(y-5)+2(z-0)=0.

Тогда

4x+3y+2z-35=0 − искомое уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Прямая в пространстве

П рямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями (рис 4), уравнения которых a₁x + b₁y + c₁z + d₁ =  0 и

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Тогда уравнения прямой будет иметь вид:

(8)

Уравнение (8) называют общим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение прямой ℓ, проходящей через точку и параллельной вектору получают на основе условия коллинеарности двух векторов и :

(9)

Уравнение (9) называют каноническим уравнением прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящие через точки и записываются в виде

(10)

Параметрическое уравнение прямой получают, если каждое из отношений (9) приравнять к параметру t:

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

.

Условие параллельности двух прямых записывается в виде

.

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

.

Пример.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки

 М₁ (-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Решение.

Используем уравнение (10):

,

или

− искомое уравнение прямой, проходящей через точки М₁(-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью ax + by + cz + d = 0 определяется выражением

.

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

a·m+b·n+c·p=0.

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства

Пример.

Найти проекцию точки М(3, 1, -1) на плоскость α: x + 2y + 3z -30 = 0.

Р ешение.

Нужно найти координаты точки М₀, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.

С оставим параметрическое уравнение прямой ℓ (по условию прямая ℓ перпендикулярна плоскости α ).

Для этого возьмем и используем координаты точки М.

Получаем x = t + 3, y = 2t + 1, z = 3t – 1.

Решая систему

Получаем t+3+4t+2+9t-3-30=0, 14t=28, t=2.

Тогда x=2+3=5, y=2·2+1=5, z=3·2-1=5.

Значит М₀(5, 5, 5) − искомая проекция точки М(3, 1, -1) на плоскость α.

Кривые второго порядка

Уравнение второй степени относительно двух переменных

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

при различных значениях постоянных коэффициентов A, B, C описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называется общим уравнением кривых второго порядка.

Окружность

О кружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки О(x₀, y₀), называемой центром окружности, (центра) на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Нормальное уравнение окружности:

(x – x₀)²+(y – y₀)²=R²,

где x₀ ,y₀ – координаты центра окружности, R – радиус окружности.

После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности

Где , , .

Пример.

Написать уравнение окружности радиуса R=7 и с центром в точке О(3, -5).

Решение.

После подстановки значений х₀ = 3, y₀ = -5 и R=7, получим

,

− искомое уравнение окружности.

Эллипс

Э ллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а большая, чем расстояние между фокусами 2с.

Каноническое уравнение эллипса:

,

где , если а > b и фокусы находятся на оси Ох.

Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Отношение с/а = называется эксцентриситетом эллипса.

Пример.

Определить вид кривой .

Решение.

Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

.

Отсюда .

Разделив обе части уравнения на , получим

− уравнение эллипса с центром в точке О(1, -3/4).

Гипербола

Г иперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек(фокусов) есть постоянная величина 2а, причем 2а < 2c , где 2с – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид

, где .

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

Пример.

Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9x²-16y²=144.

Решение.

Приведем данное уравнение к каноническому виду, разделив обе части уравнения на 144:

. Отсюда следует, что a²=16, b²=9.

Следовательно, a = 4 − действительная полуось, b = 3 − мнимая полуось.

Тогда

Значит, фокусы имеют координаты F₁(-5,0), F₂(5,0).

Находим эксцентриситет .

Уравнения асимптот имеют вид ,

а уравнения директрис .

Парабола

П араболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой d (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ох, имеет вид

y²=2px

Уравнение вида

x²=2py

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Пример.

Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y = x².

Решение.

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид: x² = 2px.

Сравнивая это уравнение с заданным, получим 2p = 1, отсюда p = 1/2.

Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0,1/4),

а уравнение директрисы есть y=-1/4

Предел функции

Определение предела функции

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х.

Число А называется пределом функции f(x) в точке х = х₀, если для любого числа существует число такое, что для всех х Х, и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Свойства пределов

1. Предел постоянной равен этой постоянной

, если A = const

2. Постоянную можно вынести за знак предела.

, если c = const

3. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы В и С. Тогда функции f(x) g(x), f(x)·g(x), и (при с 0) имеют в точке х₀ пределы равные соответственно В+С, ВС, В/С.

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.

Если предел функции равен нулю ( ), то она называется бесконечно малой величиной.

Если предел функции равен бесконечности ( ), то есть величине, обратной к бесконечно малой величине, то она называется бесконечно большой величиной.

Следовательно, выполняются равенства: и .

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношений sinx бесконечно малой величины x к самой этой величине равен 1.

Свойства:

1. ; 2. ; 3.

Второй замечательный предел

где е – число иррациональное, e ≈ 2,71828.

Методы нахождения пределов функции

1. Простая подстановка значения аргумента (см. примеры 1-3).

Если при простой подстановке получаются неопределенности типа или , то используются следующие способы.

2. Числитель и знаменатель делятся на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя (см. пример 4).

3. Дробь раскладывается на множители, согласно правилам сокращенного умножения (см. пример 5)

4. Используются замечательные пределы (см. примеры 6 и 7)

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Производная функции

Правила дифференцирования. Вычисление производных.

Производной функции y = f(x) в точке х₀ (обозначается y'(x₀) или f'(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке

к приращению аргумента при если этот предел существует:

y'(x₀) = .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица основных производных

(C)' = 0	7) (tg x)' =
(xn)' = n·xn-1	8) (ctg x)' =
(sinx)' = cos x	9) (arcsinx)' =
(cos x)' = -sin x	10) (arcos x)' =
(ax)' = ax ln a; (ex)' = ex	11) (loga x)' = ; (ln x) ' =
6) (arctg x)' =	12)y= arcctg x, y’ = −

Правила дифференцирования:

1. (u + v − w)'=u' + v' − w'.

2. (u · v)'=u' · v + u · v'.

3. , ( ).

4. Если функция дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в точке , то сложная функция y = f( (x)) дифференцируема в точке , при этом .

Пример.

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

а)

.

b) = = =  .

c) Данная функция является сложной функцией y = u³(v), где u = log₂(5x − 3) и v = 5x – 3.

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции

.

Исследование функций и построение графиков

Схема исследования функции y = f(x) и построения ее графика:

1. Определить область существования функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются, найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз, определить точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример.

Построить график функции y =

Решение.

1. Область существования функции

D(f) = .

2. Функция не является четной или нечетной

3. Точки пересечения с осями координат:

Если х = 0, то у = 0; если у=0, то х=0,

т.е кривая пересекает ось 0х и ось 0у в начале координат.

4. Точка разрыва х = -1. Исследуем характер разрыва:

, .

Таким образом, разрыв II рода.

Значит х = -1 – вертикальная асимптота.

Найдем горизонтальные асимптоты графика функции:

, .

Значит, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции :

k =

Заметим сразу, что

 =

= .

Таким образом, график имеет наклонную асимптоту y= .

5. Вычислим первую производную и исследуем ее знаки

.

Покажем изменение знака производной на числовой прямой:

для − функция возрастает.

− функция убывает.

В точках х = -3 и х = 0 производная у' = 0, но в окрестности точки х = -3 она меняет знак, поэтому в точке х= -3 функция имеет экстремум (максимум), в окрестности точки х =0 производная у' не изменяет знака, следовательно, точка х = 0 не является точкой экстремума функции.

− максимум функции.

В точке х = -1 не существует производная функции y' и не существует и сама функция, поэтому х=-1 не является критической точкой.

6. . .

П окажем изменение знака второй производной на числовой прямой:

для − функция выпукла вверх

для − функция вогнута.

В точке х = 0: y'' = 0 и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, в точке х = 0 функция имеет точку перегиба.

8. Результаты этих исследований наносим на график (рис. 10).

Функция многих переменных

Область определения, способы задания, линии и поверхности уровня

Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого числового множества D = {(x, y)} поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x, y). При этом переменные х и у называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – зависимой переменной или функцией двух переменных. Множество D = {(x, y)} называется областью определения функции, а множество Z = {f(x, y)} – множеством значений функции.

Частные производные. Производная по направлению. Градиент.

Частные производные первого порядка.

Частной производной от функции z = f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении у.

Частной производной по у называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении х.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример.

Найти и , если z = x²+3x

Решение.

При вычислении переменная y рассматривается как постоянная величина:

Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:

Пример.

Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение.

Находим

(при постоянных y и z)

(при постоянных x и z)

(при постоянных y и x)

Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:

Получаем тождественное равенство, т.е функция u удовлетворяет уравнению.

Градиент.

Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х, у) называется вектор с началом в точке М₀, координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке М(х, у).

Градиент обозначается grad z = ( , ).

Аналогично определяются градиент для функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z):

.

Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u = f(M).

Производная функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z) по направлению вектора :

,

где – направляющие косинусы единичного вектора  .

Пример.

Найти градиент функции u = x² + 3xy² – z³у в точке М(-2, 3, -1).

Решение.

Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значения этих производных в точке М(-2, 3, -1):

;

;

.

Окончательно получаем grad u(M) = (23; -35; -9)

Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие

.

Очевидно, что (F(x) + C)' = f(x), где С – любая константа.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается .

Основные правила интегрирования.

1. 

где С – произвольная постоянная.

2. 

где a – постоянная величина.

3. 

4. Если

и x= φ(x) –дифференцируемая функция,

то

В частности, свойство линейной замены

Таблица простейших интегралов.

1. (n ≠ -1); .

2. .

3. (a ≠ 0).

4. (a ≠ 0).

5. (a ≠ 0).

6. (a > 0).

7. , a > 0 (a ≠ 1); .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Примеры.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

2. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

.

3. Для вычисления интеграла воспользуемся свойством линейной замены.

.

Интегрирование методом подстановки

Положим x = φ(x). Получим . Тогда

(11)

Применение формулы (11) называется интегрирование методом подстановки.

По существу, подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Найдем интеграл .

Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

.

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

.

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

.

2. Найдем интеграл .

Положим . Отсюда . Следовательно,

.

3. Найдем интеграл .

Под знаком интеграла произведение двух функций и . Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а − внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции

.

Тогда эту функцию обозначим за новую переменную .

Найдем .

Таким образом, получаем интеграл от новой переменной :

.

Интегрирование по частям

Если u=ψ(х), v=φ(х) − дифференцируемые функции, то справедлива формула

.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Найдем интеграл .

Положим u = x, sinx dx = dv. Отсюда du = dx, v = -cosx.

Следовательно,

.

2. Найдем интеграл .

,

где

.

3. Найти интеграл .

Определенный интеграл

Нахождение определенного интеграла

Определенный интеграл является мощным средством исследования в математике, физике, экономике и т.д.

П онятие определенного интеграла тесно связано с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции. Под криволинейной трапецией понимается фигура ограниченная линиями , , и , где − есть непрерывная положительная функция, заданная на участке (рис. 11).

Разобьем отрезок на n частей точками деления:

. При этом .

Положим: .

В каждом из отрезков возьмем по точке, которые обозначим соответственно (рис. 11):

.

Составим интегральную сумму для функции на отрезке :

.

Если существует конечный предел от интегральной суммы , который не зависит от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается:

,

где − нижний предел интегрирования; − верхний предел интегрирования; − подынтегральная функция, интегрируемая на отрезке ; − переменная интегрирования.

Исходя из определения, можно сказать, что определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

Основные свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) надо находить пределы интегрирования для новой переменной.

.

Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям.

.

Примеры.

Вычислить определенные интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

Решение.

1. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

.

2. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

.

3. Вычислим интеграл .

Введем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При получаем , при получаем .

Выразим подынтегральное выражение через t и и, перейдя к новым пределам,

получим:

.

4. Вычислим .

Приложение определенного интеграла

Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, при вычислении площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и при решении многих других прикладных задач.

Площадь S фигуры (рис. 12), ограниченной непрерывными кривыми y = f₁(x), y = f₂(x), вертикалями х = а, x = b, , вычисляется по формуле:

Рисунок 12. Площадь криволинейной трапеции.

, где f₁(x) f₂(x) при a   x   b

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

, .

Решение.

y=x²

Рисунок 13. Графики функций

Построим графики функций , .

Нетрудно видеть, что графики пересекаются в точках (0;0) и (1;1).

Поэтому

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) ≥ 0 и прямыми x = a, x = b (a < b), y = 0 (рис.14 а))

_y=f(x)

_x=g(y)

_б)

_а)

Рисунок 14. Тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g(y) ≥ 0 и прямыми y = a, y = b (a < b), x = 0 (рис. 14 б)), равен

.

Пример.

Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями:

y² = 9x, y = 3x.

Решение.

y=3x

y²=9x

Рисунок 15. Графики функций y² = 9x, y = 3x.

Построим графики функций y² = 9x, y = 3x (рис.15).

.

основы теории вероятностей

Классическое определение вероятности.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n)

.

Для вычисления общего числа благоприятствующих или общего числа элементарных исходов используют формулы комбинаторики:

1. Число различных упорядоченных подмножеств (размещений) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

 «порядок есть, повторений нет».

Если n=m, то размещения называются перестановками. Количество таких перестановок из n элементов определяется по формуле:

2. Число различных подмножеств (сочетаний) из m элементов без повторений для множества, содержащего n элементов, определяется по формуле:

 «порядка нет, повторений нет»

Пример.

На станцию прибыли 10 вагонов с различной продукцией. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение.

Общее число всех исходов для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5:

.

Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых будут две цифры 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых

.

Тогда искомую вероятность найдем по формуле

.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие A, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается p(В\А).

Теорема умножения вероятностей двух событий.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

p(АВ) = p(А)p(В\А) = p(В)p(А\В).

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

p(АВС ··· LM) = p(А)p(В\А)p(С\АВ) ··· p(М\АВ ··· L).

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.

Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

p(АВ) = p(А)p(В).

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.

Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А + В) = p(А) + p(В) − p(АВ).

Пример.

Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.

а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?

б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

Решение.

а) Учитывая то, что событие А₁ (первое изделие стандартное) и А₂ (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу

p(А₁ А₂) = p(А₁) p(А₂), т.е. p(А₁ А₂) = 0,9 · 0,9 = 0,81.

б) Пусть В₁ – событие, состоящие в том, что только первое изделие стандартное; В₂ – только второе изделие стандартное. Событие В можно рассматривать как произведение дух событий

В₁ = − появилось первое событие и не появилось второе.

Аналогично

В₂= − появилось второе событие и не появилось первое.

События В₁ и В₂ несовместные, поэтому

p(В₁+В₂) = pq + qp = 2 pq.

В данном случае

p(В₁ + В₂) =2 · 0,9 · 0,1 = 0,18.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий А₁, А₂,… А_n, образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

где p(A_i) − вероятность события A_i,

− условная вероятность события В.

Для определения вероятности события A_i, при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса

Пример.

На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго − 6 и от третьего − 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

Решение.

Обозначим через А₁, А₂, А₃ события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором и третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

p(А₁) = 0,5; p(A₂) = 0,3; p(A₃) = 0,2.

а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

p(В) = p(А₁)·p(В\А₁) + p(А₂)·p(В\А₂) + p(А₃)·p(В\А₃),

p(B)= 0,5·0,9 + 0,3·0,8 + 0,2·0,7 = 0,83.

б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

Основные числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида

М(Х) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =

где x_i − возможные значения дискретной случайной величины;

p_i − вероятность появления значения x_i.

Свойства математического ожидания:

1. М(С) = С, 2. М(С·Х) = С·М(Х),

где С − произвольная постоянная величина (число).

3. M(X₁ X₂ … Х_n) = М(Х1) М(Х₂) … М(Х_n),

если Х_1, Х₂, …, Х_n − взаимно независимые случайные величины.

4. М(Х₁ + Х₂ + ... + Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n).

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х − М(Х))².

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D(X) = М(Х²) − (М(Х))².

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0; 2. D(C·X) = C²D(X),

где С произвольная постоянная.

3. D(X_l + Х₂ + ... + Х_n) = D(X₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n),

где X_i − независимые случайные величины.

σ(Х) = ,

где σ(Х) − среднее квадратичное отклонение.

Пример.

Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y:

X	2	4	6	8
р	0,4	0,2	0,1	0,3

Y	0	1	2
p	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z = 2Х + 3Y.

Решение.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y − независимые случайные величины, имеем:

M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);

D(Z) = D(2Х + 3Y) = D(2Х) + D(3Y) = 4 D(X) + 9D(Y).

По формуле М(Х) = вычислим М(Х) и М(Y):

М(Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;

М(Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.

Тогда

M(Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.

По формуле D(X) = М(Х²) − (М(Х))² вычислим D(Х) и D(Y).

Вначале найдем М(Х²) и М(Y²):

М(Х²) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 ·0,3 = 27,6;

M(Y²) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.

Затем вычислим значения D(X) и D(Y):

D(X) = М(Х²) − (М(Х))² = 27,6 − 4,6² = 6,44;

D(Y) = M(Y²) − (М(Y))² = 1,4 − 0,8² = 0,76.

Окончательно получим

D(Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.

основы математической статистики

Гистограмма

Графическое изображение вариационных рядов в виде гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на оси 0х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала, то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку плотности вероятности:

f*(х_i) = .

Пример.

Выборка задана интервальным вариационным рядом

i	xi < X ≤ xi+1	mi
1	1 − 5	10
2	5 − 9	20
3	9 − 13	50
4	13 − 17	12
5	17 − 21	8

Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности.

Решение.

Длина каждого интервала равна h = 4. Объем выборки, n = 100.

Подсчитаем значения m_i/(hn):

xi < X < xi+1	1 − 5	5 − 9	9 − 13	13 − 17	17 − 21
mi/(hn)	25 ·10-3	50 ·10-3	125 · 10-3	30 · 10-3	20 · 10-3

Рисунок 16. Гистограмма интервального ряда.

Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

,

где х_i − варианта выборки;

n_i − частота варианты;

n − объем выборки.

Замечание: Выборочная средняя может также обозначаться и без нижнего индекса: .

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

.

Для расчетов может быть использована также формула

,

где − выборочная средняя квадратов вариант выборки.

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно − то смещенной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину n/(n − 1) и получают

Величину S² называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.

В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты x_i − большие числа, то используют разности

u_i = x_i − С,

где С − произвольно выбранное число (ложный ноль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения. В этом случае

.

Учитывая, что , то

.

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:

u_i = C·x_i,,

где С = 10^b (b выбирается положительным или отрицательным целым числом).

Пример.

Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на основании данного распределения выборки:

xi	2	7	9	10
ni	8	14	10	18

Решение.

Находим выборочную среднюю

.

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу :

.

Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):

.

Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием

На практике часто требуется оценить, соответствуют ли действительности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом случае возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым значением этого параметра.

Пример.

Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия − 2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5%-ом уровне значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.

Решение.

Предположим, что случайная величина срока безотказной работы подчинена нормальному закону распределения. Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной величины (генеральной средней) при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выбирают функцию

,

где X − выборочная средняя, а₀ − математическое ожидание, S − выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет распределение (распределение Стьюдента) с ℓ = n − 1 степенями свободы. В данной задаче речь идет о сравнении выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим ожиданием , при этом выборочное среднее квадратичное отклонение равно 700 ч.

Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Н₀: а₀ = 2900 при альтернативной гипотезе Н₁: а₀ < 2900. Очевидно, что другие альтернативные гипотезы (а₀ > 2900 и а₀ ≠ 2900) нецелесообразны, так как потребитель обычно обеспокоен лишь тем, что срок службы изделия может оказаться меньше гарантируемого поставщиком.

Критическая область левосторонняя, значит, находим из условия

Р(Т <  ) = α.

При α = 0,05 и ℓ = 50 − 1 = 49 в таблице t-распределения (Приложение1 стр. 77), находим .

Таким образом, критическая область ω = (-∞, -1,677).

Рассчитаем t_r, полагая :

.

Значение -1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза Н₀ должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в рекламе завышает срок безотказной работы изделия.

Сравнение двух дисперсий

Пусть имеются две случайные величины X=N(a_x,σ_x) и Y=N(a_y,σ_y) с неизвестными дисперсиями и две независимые выборки х₁, х₂, …, х_n и y₁, y₂, …, y_m. Требуется по полученным выборочным оценкам

, , где , .

Проверить гипотезу H₀ : .

В качестве критерия при проверке гипотезы H₀ : используют функцию F(ℓ₁, ℓ₂), которая имеет F-распределение (распределение Фишера — Снедекора):

1. F(ℓ₁, ℓ₂) =  , если полученные по выборкам значения , с ℓ₁ = n − 1 и ℓ₂ = m − 1 степенями свободы;

2. F(ℓ₁, ℓ₂) =  , если полученные по выборкам значения , с ℓ₁ = m − 1 и ℓ₂ = n − 1 степенями свободы;

Если задаться уровнем значимости α, то можно построить критические области для проверки гипотезы H₀ : при двух альтернативных гипотезах:

1. H₁: , если , или H₁ : , если . В этом случае критическая область правосторонняя ( , +∞) определяется из условия F(ℓ₁, ℓ₂)  > ) = α.

2. H₁: . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можно использовать только правостороннюю область ( , +∞) , где определяется из условий:

P(F(ℓ₁ = n − 1, ℓ₂ = m − 1) >  ) = α/2, если ;

P(F(ℓ₁ = n − 1, ℓ₂ = m − 1) <  ) = α/2, если .

Если f_r попадает в критическую область, то принимается альтернативная гипотеза Н₁, в противном случае принимается гипотеза H₀:  . При этом оценкой генеральной дисперсии служит величина

.

Пример.

Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:

Срок хранения	xi	5	6	7
Число единиц продукции	ni	2	4	4

а изготовленной по технологии В:

Срок хранения	yi	5	6	7	8
Число единиц продукции	mi	1	8	7	1

Предположив, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону, проверить гипотезу Н₀: при уровне значимости α = 0,1 и альтернативной гипотезе Н₁: .

Решение.

Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии .

Для этого вначале найдем , :

; .

Тогда

;

.

Учитывая, что определим f_r:

.

Критическое значение находим из условия если , то

P(F(ℓ₁ = n − 1, ℓ₂ = m − 1) >  ) = α/2 .

По условию α=0,1. Значит

P(F(ℓ₁ = 10 − 1=9, ℓ₂ = 17 − 1=16) >  ) = 0,05;

По таблице F-распределения (Приложение 2 стр.79) определяем  = 2,54.

Так как число f_r = 5,64 попадает в критическую область (2,54;+∞), то гипотезу о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции, изготовленной по технологиям А и В, отвергаем.

Линейная регрессия со сгруппированными данными

В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по не­скольку раз, причем с одним значением варианты х_i может встретиться несколько вариант у_j, их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечается частота n_ij выбора соответствующей пары (x_i, y_j), а частоты вариант x_i (i = 1, 2, …, k₁), y_j (j = 1, 2, …, k₂) находятся как суммы значений n_ij по соответствующей строке или столбцу.

Например, в корреляционной таблице

xi yj	10	20	30
5	3	−	2	5
10	5	4	2	11
	8	4	4	n= 16

Пара (10; 5) встречается 3 раза, т.е. n₁₁ = 3, а частота появления величины y₁ = 5 находится как сумма  = 3 + 2 = 5.

Очевидно, что .

Для коэффициента корреляции случайных величин X и У в случае сгруппированных данных используется выражение

,

где , .

После подсчета , , σ_XB, σ_YB, r_B получают выборочное уравнение линейной регрессии У на X в виде

.

или выборочное уравнение линейной регрессии X на У в виде

.

Для упрощения расчетов часто используются условные варианты, которые подсчитываются по формулам

u_i = (x_i − C₁)/ h₁, v_j = (y_j − C₂)/ h₂.

где С_1, С₂ − ложные нули (выбираемые значения);

h_1, h₂ − разности между соседними значениями соответственно X и У.

Для обратного перехода применяются выражения

, ,

, ,

, ,

Где − средние значения условных вариант;

− средние квадратичные отклонения условных вариант.

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом случае используется формула

,

где , .

Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через условные варианты и осуществив переход к условным переменным, получают соответствующие уравнения регрессии.

Пример.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии X на Y на основании корреляционной таблицы

xi yj	15	20	25	30	35	40
100	2	1	−	7	−	−
120	4	−	2	−	−	3
140	−	5	−	10	5	2
160	−	−	3	1	2	3

Решение.

Для упрощения расчетов введем ложные нули С₁ = 30, С₂ = 120.

Тогда условные варианты вычислим по формулам:

u_i = (x_i − 30)/ 5, v_j = (y_j  − 120)/ 20

и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую внесем значения и :

xi yj	-3	-2	-1	0	1	2
-1	2	1	−	7	−	−	10
0	4	−	2	−	−	3	9
1	−	5	−	10	5	2	22
2	−	−	3	1	2	3	9
	6	6	5	11	14	8	n = 50

Затем составим новую таблицу, в которую внесем посчитанные значения n_ijU_i в правый верхний угол заполненной клетки и n_ijV_j в левый нижний угол, после чего суммируем верхние значения по строкам для получения значений V_j и нижние значения по столбцам для U_i и подсчитаем величины u_iU_i и v_jV_j.

xi yj	-3	-2	-1	0	1	2	vj	vjVj
-1	-6 2 -2	-2 1 -1	−	0 7 -7	−	−	-8	8
0	-12 4 0	−	-2 2 0	−	−	6 3 0	-8	0
1	−	-10 5 5	−	0 10 10	5 5 5	4 2 2	-1	-1
2	−	−	-3 3 6	0 1 2	2 2 4	6 3 6	5	10
ui	-2	4	6	12	9	8
uiUi	6	-8	-6	0	9	16		Σ = 17

Подсчитываем суммы и (соответственно последняя срока и последний столбец таблицы). Параллельный подсчет этих сумм осуществляется для контроля правильности расчетов.

В данном случае

Находим :

;

.

Находим :

;

.

Определяем :

;

.

Вычисляем выборочный коэффициент корреляции r_в:

r_B = (17 – 50 · (-0,24) · 0,6)/ (50 · 1,54 · 1) = 0,314.

Осуществим переход к исходным вариантам:

;

;

;

.

Находим уравнение регрессии X на Y:

или

− искомое уравнение регрессии X на Y.