Последовательность решения задачи:
1.Определение опорных реакций. (Используя уравнение для плоской системы произвольно расположенных сил).
2. Построение эпюр поперечных сил, изгибающихся моментов, продольных сил методом прохода по характерным точкам.
3.Проверка решения задачи методом вырезания узлов.
Следует знать что: поперечную силу в сечении будем определять как алгебраическую сумму проекций всех внешних сил, приложенных к элементам части рамы, расположенной по одну сторону от этого сечения, на ось, перпендикулярную к оси рассматриваемого элемента. Поперечная сила считается положительной, если вызывающая ее внешняя сила при рассмотрении левой отсеченной части рамы стремится сдвинуть эту часть в направлении от наблюдателя или при рассмотрении правой части — приблизить последнюю к наблюдателю. Если же внешняя сила стремится приблизить левую часть рамы к наблюдателю или правую отодвинуть от него, то поперечную силу считают отрицательной.
Изгибающий момент в любом сечении рамы численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к элементам части рамы, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно его центра тяжести (на расчетной схеме рамы—относительно точки сечения, лежащей на оси соответствующего момента).
Если внешняя сила, вызывающая изгибающйй момент, по отношению к наблюдателю, расположенному как было сказано, стремится повернуть относительно указанной выше точки левую часть рамы по часовой стрелке или правую ее часть против часовой стрелки, то изгибающий момент положительный. Если же наблюдателю вращение представляется в противоположном направлений, то изгибающий момент отрицательный.
Продольную силу будем принимать положительной, если внешняя сила вызывает в рассматриваемом сечении растяжение, и отрицательной, если в сечении вызывается сжатие.
При построений эпюр q, m и n условимся придерживаться следующих правил:
1. Ось стержня принимается за ось абсцисс.
2. Вычисленные ординаты эпюр откладываются в соответствующих сечениях перпендикулярно к оси рассматриваемого стержня.
3. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от оси ригеля и влево от оси стойки, а отрицательные – соответственно вниз и вправо от оси. Знак на эпюре ставится.
4.Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон элементов рамы. Знак на эпюре не ставится.
5.Ординаты эпюры N откладываются симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого стержня. Знак на эпюре N обязателен.
6.Штриховка эпюр производится перпендикулярно к оси соответствующего стержня.
Пример 3. Для статически определимой рамы построить эпюры М, Q и N. Проверить равновесие узла.
Решение: Построение эпюры Q. За ось абсцисс принимаем ось любого стержня. Перпендикулярно ей мысленно проводим ось ординат и проецируем на нее силы, действующие соответственно слева и справа от рассматриваемого сечения, учитывая правила знаков.
a)
б)
в)
г)
д)
Узел С
22
M (kH*м)
Рис. 14
Ригель ВС. Ход справа. Поперечную силу определяем по характерным точкам (аналогично простым балкам).
QB = 0;
QDправ = q (1/2) = 4 kH;
QDлев = QDправ + f = 9 kH;
QС = QDлев =9 kH/
Стойка АС. Повернем лицом к стойке, проведем мысленно ось перпендикулярно оси стойки и спроецируем на нее силы ходом справа : QС=0; QA = 0. Изобразим полученные результаты графически. Проведем ломанную линию АВС (рис. 14б) и от нее, как от нулевой линии, отложим вычисленные ординаты эпюры поперечных сил. Положительные ординаты эпюры для ригеля откладываются вверх от нулевой линии и влево от нулевой линии для стойки. Отрицательные соответственно вниз и вправо от нулевой линии.
Построение эпюры М (рис. 14в ). Изгибающий момент в сечениях рамы определяем также по характерным точкам ходом справа (со свободного конца).
Ригель ВС. MB = 0;
MD = -q (12/8) = - 4 kH m;
MC = -F1 / 2 – q *1/2 *3/41 = - 22 kH m.
Стойка АС. Как и при определении поперечной силы, при переходе от ригеля к стойке повернемся на 900, лицом к стойке. Точка С принадлежит одновременно и ригелю и стойке, поэтому МСстойки = МСриг = 2 22 kH m. Так как в данной задаче непосредственно к стойке не приложены внешние нагрузки, а плечи сил F и Q остаются неизменяемыми, то в любом сечении от С до А изгибающий момент один и тот же. МА = МС = - 22 kH m. При построении эпюры изгибающих моментов (как и в балках) положительные ординаты откладываем со стороны растянутых волокон.
Построение эпюры N (рис. 12г). Определяя продольную силу, проецируем заданные силы на ось абсцисс, совмещая ее сначала с ригелем, затем со стойкой. Продольная сила в любом сечении ригеля равна нулю, NCB = 0, так как справа от сечения действует нагрузка, перпендикулярная его оси. Продольная сила во всех сечениях стойки постоянна, так как сама стойка не нагружена и на ось стойки дают проекцию силы F и 2q. NCA = - F – 2q = - 9 kH. Ординаты эпюры продольных сил откладываем симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого элемента. Знак плюс, поставленный на эпюре N, соответствует деформации растяжения, знак минус – сжатия.
Для проверки правильности построения эпюр рассмотрим равновесие узла С. Для этого мысленно вырежем этот узел, проведя два сечения на бесконечно близком расстоянии, в ригеле справа от узла, в стойке – слева от него.
Вырезанный таким образом узел дает возможность, рассматривая сечение в ригеле, считать узел отнесенный к левой части ригеля, а при рассмотрении сечения в стойке – к правой части стойки. Прикладываем к узлу С внутренние силовые факторы QX, MX и N, беря их значение с эпюр с учетом знака, показывающего направление их действия (рис. 14д).
Из эпюры QX видим, что поперечная сила в сечении С ригеля положительна. Поскольку точка С относится к левой части рамы (согласно принятому ранее), Qриг согласно правилу знаков направляем вниз. На стойке поперечная сила отсутствует.
Из эпюры MX видим, что изгибающий момент вызывает растяжение верхних волокон. Следовательно, с учетом правила знаков в ригеле изгибающий момент МС направляем оп часовой стрелке, а в стойке (узел С относим к правой части рамы) – против часовой стрелки. Продольная сила NCA вызывает в сечении и, следовательно, должна быть направлена в сторону этого сечения.
Для равновесия узла должны соблюдаться следующие условия:
∑Xi = 0; ∑Yi = 0; ∑MC = 0.
Составим эти уравнения, направив ось Х вправо, а ось Y вертикально вверх:
∑Xi = 0; ∑Yi = Nст – Qриг = 9 - 9 = 0; ∑MC = Мстойки – Мриг = 22 - 22= 0.
Условия равновесия соблюдаются. Следовательно, внутренние силовые факторы определены правильно.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
Задача 1-10. Для заданной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать сечение балки в двух вариантах (прямоугольник = 2/3 и двутавр). Проверить балку на сдвиг. Принять R = 130 Mпа, RS = 10 Mпа.
Числовые данные своего варианта взять из таблицы 5. Схемы изображены на рис. 15.
Таблица 5 (к задачам 1-10)
№задачи №схемы
|
Вариант |
q F M |
№задачи №схемы
|
Вариант |
q F M |
|||||||
КН/м |
КН |
КН м |
КН/м |
КН |
КН м |
|||||||
1;1 |
00 11 22 33 45 50 66 71 84 99 |
5 2 10 1,5 6 3 8 4,5 1 12 |
40 25 16 50 82 15 45 18 20 54 |
10 20 14 30 60 25 40 10 25 35 |
2;2
|
01 12 23 34 46 51 67 72 88 90 |
1 4.5 2 5 3,5 6 3 1,5 8 10 |
60 20 15 2,5 40 35 100 80 30 50 |
54 85 40 100 55 60 90 20 75 30 |
|||
3;3
|
02 13 24 35 47 52 68 73 80 91 |
5 2,5 4 10 12 8 4,5 2 6 3,5 |
80 15 30 55 10 100 65 85 90 20 |
25 10 20 40 15 30 45 60 18 16 |
4;4 |
03 14 25 36 48 53 69 74 85 92 |
4 1 12 8 2 14 6 10 16 20 |
10 12 16 20 5 30 25 8 4 15 |
8 10 15 2 3 24 20 6 12 8 |
|||
5;5 |
04 15 26 37 49 54 60 75 81 93 |
5 4,5 8 1,5 2,5 10 123 15 5,5 6 |
50 35 25 10 65 8 16 30 12 55 |
35 30 20 8 50 25 40 28 15 45 |
6;6 |
05 16 27 38 40 55 61 76 86 94 |
8 3,5 0,5 10 15 4,5 8 12 8,5 6 |
12 10 8 15 18 20 3 5 12 4 |
20 45 10 50 30 15 25 18 30 45 |
|||
7;7 |
06 17 28 39 41 56 62 77 82 95 |
2 4 6 8 12 10 20 14 16 30 |
50 10 12 15 80 35 40 25 14 65 |
35 5 8 50 15 25 30 20 65 75 |
8;8
|
07 18 29 30 42 57 63 78 87 96 |
4 6,5 10 2,5 12 3 8 1,5 1 5 |
18 24 16 20 40 35 10 12 60 15 |
15 20 12 25 50 65 25 90 35 10 |
|||
9;9 |
08 19 20 31 43 58 64 79 83 97 |
4 1,5 1 10 5 8 6 12 3 7 |
15 40 20 16 18 10 25 40 35 12 |
2 15 18 25 14 35 20 30 15 10 |
10;10 |
09 10 21 32 44 59 65 70 89 98 |
4 6 2 18 20 10 16 8 14 30 |
60 65 80 10 55 30 10 2 6 50 |
10 8 100 15 150 45 25 40 10 60 |
|||
F
F
F
m
q
F
1
m
q
F
2
m
q
3
m
q
4
m
q
5
m
q
F
6
3м
2м
2м
2м
3м
2м
5м
6м
5м
4м
6м
4м
3м
3м
2м
2м
3м
1м
m
q
7
q
8
9
q
m
F
F
8м
2м
6м
6м
10
F
q
m
m
F
2м
2м
3м
6м
4м
Рис. 15
Задача 11-20. Для трехпролетной статически определимой балки составить схему взаимодействия ее элементов и построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M.
Числовые данные своего варианта взять из таблицы 2. Схемы изображены на рис. 16.
Таблица 2 (к задачам 11-20)
№задачи №схемы
|
Вариант |
q F1 F2 |
№задачи №схемы
|
Вариант |
q F1 F2 |
|||||||
H/m |
H |
H |
H/m |
H |
H |
|||||||
11;1 |
00 11 22 33 45 50 66 71 84 99 |
5 2 10 1,5 6 3 8 4,5 1 12 |
40 25 16 50 82 15 45 18 20 54 |
10 20 14 30 60 25 40 10 25 35 |
12;2
|
01 12 23 34 46 51 67 72 88 90 |
1 4.5 2 5 3,5 6 3 1,5 8 10 |
60 20 15 2,5 40 35 100 80 30 50 |
54 85 40 100 55 60 90 20 75 30 |
|||
13;3
|
02 13 24 35 47 52 68 73 80 91 |
5 2,5 4 10 12 8 4,5 2 6 3,5 |
80 15 30 55 10 100 65 85 90 20 |
25 10 20 40 15 30 45 60 18 16 |
14;4 |
03 14 25 36 48 53 69 74 85 92 |
4 1 12 8 2 14 6 10 16 20 |
10 12 16 20 5 30 25 8 4 15 |
8 10 15 2 3 24 20 6 12 8 |
|||
15;5 |
04 15 26 37 49 54 60 75 81 93 |
5 4,5 8 1,5 2,5 10 123 15 5,5 6 |
50 35 25 10 65 8 16 30 12 55 |
35 30 20 8 50 25 40 28 15 45 |
16;6 |
05 16 27 38 40 55 61 76 86 94 |
8 3,5 0,5 10 15 4,5 8 12 8,5 6 |
12 10 8 15 18 20 3 5 12 4 |
20 45 10 50 30 15 25 18 30 45 |
|||
17;7 |
06 17 28 39 41 56 62 77 82 95 |
2 4 6 8 12 10 20 14 16 30 |
50 10 12 15 80 35 40 25 14 65 |
35 5 8 50 15 25 30 20 65 75 |
18;8
|
07 18 29 30 42 57 63 78 87 96 |
4 6,5 10 2,5 12 3 8 1,5 1 5 |
18 24 16 20 40 35 10 12 60 15 |
15 20 12 25 50 65 25 90 35 10 |
|||
19;9 |
08 19 20 31 43 58 64 79 83 97 |
4 1,5 1 10 5 8 6 12 3 7 |
15 40 20 16 18 10 25 40 35 12 |
2 15 18 25 14 35 20 30 15 10 |
20;10 |
09 10 21 32 44 59 65 70 89 98 |
4 6 2 18 20 10 16 8 14 30 |
60 65 80 10 55 30 10 2 6 50 |
10 8 100 15 150 45 25 40 10 60 |
|||
F1
F2
F1
F2
2
q
q
q
1,2мм
1м
1,5м
1,5м
4м
4м
1м
1м
1м
1м
4м
3м
4м
1м
1
1м
F1
q
3
4
F2
F1
F2
q
F1
1,5м
1,5м
1,5м
1,5м
1м
1,5м
1м
1,2м
4м
3м
1,5м
4м
1,5м
1м
3м
F1
F2
q
q
5
3м
1м
F2
F1
q
6
2м
1,5м
1,5м
1,5м
1,2м
1,2м
1,5м
1,5м
1,5м
2м
2м
3м
1,5м
4м
3м
F2
F1
7
F1
q
8
F2
q
q
1м
2м
1м
4м
1,5м
2м
3м
1,5м
1м
1м
1,5м
1,2м
1,2м
1,5м
3м
1м
4м
1м
3м
1,5м
1,5м
F1
F2
q
9
1,5м
1,5м
3м
1м
3м
1м
F1
F2
q
q
10
q
Рис. 16
Задача 21-30. Построить эпюры M Q N для статически определимой консольной рамы. Проверить жесткость узла.
Числовые данные своего варианта взять из таблицы 7. Схемы изображены на рис. 17.
Таблица 1 (к задачам 1-10)
|
№ задачи на рис. 17 |
|
|
||||||||||||||||
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
№ схемы |
F1 |
F2 |
q |
||||||
Варианты |
|
KH |
KH |
KH/м |
|||||||||||||||
00 |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
1 |
50 |
- |
12 |
||||||
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
2 |
40 |
10 |
8 |
||||||
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
3 |
20 |
- |
15 |
||||||
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
4 |
45 |
- |
8 |
||||||
49 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
5 |
- |
- |
10 |
||||||
59 |
58 |
57 |
56 |
55 |
54 |
53 |
52 |
51 |
50 |
6 |
- |
- |
12 |
||||||
62 |
60 |
63 |
61 |
66 |
64 |
67 |
65 |
69 |
68 |
7 |
30 |
13 |
- |
||||||
70 |
75 |
71 |
76 |
72 |
77 |
73 |
78 |
74 |
79 |
8 |
15 |
- |
12 |
||||||
80 |
85 |
81 |
86 |
82 |
87 |
83 |
88 |
84 |
89 |
9 |
90 |
10 |
- |
||||||
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
10 |
60 |
- |
10 |
||||||
F1
3,0
F1
4,0
2,0
4,0
F1
q
3,0
1,0
3,0
q
F2
5,0
2,0
2,0
q
F1
2,0
q
1
2
3
4
2,0
2,0
4,0
2,5
1,0
1,5
F1
q
6,0
4,0
q
5
F1
3,0
1,5
1,5
7
F1
4,0
3,0
8
q
4,0
3,0
2,0
q
6
q
F1
F2
2
F2
3,0
2,0
F1
4,0
1
1
9
F1
5,0
1,0
1,0
q
10
F2
F1
Рис. 17