4.Кинетический момент вращающегося тела

В

∑.

ычислим кинетический момент вращающегося с угловой скоростью ω твердого тела относительно оси вращения z:

∑ -момент инерции тела относительно оси вращения.

Тогда .

Читать. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Пример. Через блок весом G, с массой равномерно распределенной по ободу, перекинута веревка, весом которой можно пренебречь. К концу веревки подвешен груз весом Р. Что произойдет с грузом, если человек такого же веса будет подниматься с другого конца веревки со скоростью u.

Дано:

G,P,u

u =0

Блок-кольцо

Определить VA

Применим теорему об изменении кинетического момента системы:

.

Момент внешних сил

,

т.к. эти силы пересекают ось z.

- т.к. момент левой силы

со знаком «+ », а правой со знаком « - ».

Следовательно, имеет место закон сохранения кинетического момента.

т.к. система начинает движение из неподвижного положения.

Кинетический момент системы

. (1)

Момент количества движения груза (считая его материальной точкой)

К

, ( ).

инетический момент вращающегося блока (кольца)

Момент количества движения человека, совершающего сложное движение

,

,

Кинетический момент системы согласно (1)

или .

Общее замечание. Во избежание путаницы в знаках положительное направление оси брать с той его стороны, откуда вращение происходит против часовой стрелки.

Дифференциальное уравнение вращательного движения

Пусть на вращающееся твердое тело действует система внешних сил

. Реакции связей и . По теореме о кинетическом моменте

(1)

, т.к. силы и пересекают ось z.

Кинетический момент вращающегося тела

(2)

(2) в (1): (3)

_или

.

Частные случаи.

1. -равномерное вращение;

2. - вращение равнопеременное.

Замечание. При решении практических задач на дифференциальные уравнения знак момента силы «+», если направление вращения тела совпадает с направлением воображаемого вращения под действием силы.

Пример. Направление ветвей ремня, приводящего во вращение шкив, 20 и 40 Н. Шкив имеет вес 80 Н, радиус- 30 см и радиус инерции относительно оси вращения 25 см. Определить угловое ускорение шкива и уравнение его вращения. Вначале шкив находится в покое. Трением пренебречь.

Дано:

=40 Н

=20 Н

Р=80 Н

30 см=0,3 м

=25 см=0,25 м

=0

О пределить:

Дифференциальное уравнение вращения шкива . (1)

Момент внешних сил

;

, т.к. силы и пересекают точку 0.

. (2)

Момент инерции шкива

. (3)

(1) с учетом (2) и (3):

,

. (4)

Проинтегрируем (4) дважды по t.

При начальных условиях: φ' φ0=0 получаем

Окончательное уравнение движения шкива φ