2. Работа линейной силы упругости

Линейной силой упругости (линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука:

, где с - коэффициент жесткости (упругости) (с>0);

r- расстояние от точки М до положения статического равновесия (положения, в котором эта сила =0).

Выберем начало координат в положении статического равновесия, тогда:

Т.к. , где .

Интегрируя, получим: .

Если точка А совпадает с точкой статического равновесия О, то и для работы силы на перемещение от О до М имеем

,

где - деформация из положения статического равновесия.

Работа сил, приложенных к твердому телу

1.Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Предположим, что к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z приложены внешние силы Вычислим элементарную работу силы , приложенной к точке , описывающей окружность радиусом ( ).

Разложим силу на составляющие по естественным осям

Элементарная работа =0,

т.к.

- приращение дуговой координаты.

Тогда .

Элементарная работа всех сил, приложенных к твердому телу

(1)

,

где - главный момент внешних сил относительно оси вращения z.

Читать: элементарная работа сил, приложенных к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Полная работа

(2)

Если , то

,где .

Мощность .

2.Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении скорости всех точек тела

С ледовательно, если сила

, то элементарная работа сил:

.

Полная работа силы

3. Плоское движение твердого тела

Поскольку плоское движение раскладывается на поступательное движение произвольно выбранного полюса и на вращательное вокруг этого полюса, то и работа сил, приложенных к твердому телу, должна быть определена суммой работ: работой главного вектора на поступательном перемещении произвольно выбранного полюса и работой главного момента на вращательном движении тела вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через полюс.

.

4. Работа внутренних сил

Элементарная работа внутренних сил неизменяемой системы материальных точек (например, абсолютно твердое тело) равна 0.

Замечание: работа внутренних сил в общем случае, например в упругом теле (изменяемой системе) не равна 0.

Теорема об изменении кинетической энергии

Две меры механического движения

Основными мерами механического движения являются количество движения и кинетическая энергия.

1. Количество движения – мера механического движения, характеризующая его способность передаваться от одних материальных частиц другим в форме механического же движения.

Количество движения векторная величина.

Для точки количество движения ;

для системы , с – центр масс.

Для характеристики силы принята векторная величина – импульс силы.

2. Кинетическая энергия – мера механического движения, характеризующая его способность превращаться в эквивалентное количество другой формы движения материи (электрическая, тепловая, химическая и т.д.).

Кинетическая энергия – скалярная величина (и не зависит от направления скоростей точек).

Для точки .

Для системы .

Для характеристики силы принята скалярная величина А – работа силы.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Для материальной точки массой m, движущейся под действием силы (равнодействующей активных сил и сил реакций связей) основной закон динамики можно представить в виде

. (1)

Умножим обе части (1) скалярно на дифференциал радиус-вектора .

Т

теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.

.е. (2) –

Читать: Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на материальную точку.

Интегрируя обе части (2) от до М, получим:

теорема об изменении кинетической энергии в и интегральной (конечной) форме.

-

Читать: При движении материальной точки изменение кинетической на конечном перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Пример: Определить коэффициент жесткости с балки, если груз Р, падая с высоты h на середину балки без начальной скорости вызывает прогиб балки на величину λ. Найти также скорость груза при соприкосновении с балкой.

Д ано: Решение :

Ρ ,h, λ,

1. Участок 0-1.

О

пределить:

,

2. Участок 0-2.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Пусть к точкам системы приложены внешние и внутренние силы. Для каждой точки системы (2) запишем:

(3)

Суммируя по всем точкам системы, правые и левые части (1) и вынося знак дифференциала за знак суммы в левой части получим:

и

теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

ли

Интегрируя (4) от до М положения системы, имеем:

- теорема об изменении кинетической энергии в

интегральной форме.

Читать: Изменение кинетической энергии механической системы на конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на этом перемещении.

Ранее (без доказательства) было показано, что работа внутренних сил неизменяемой механической системы (твердого тела) на любом перемещении равна 0, следовательно