3. Графические приёмы решения задач с параметрами.

В зависимости от того, какая роль в задаче отводится параметру (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два графических приёма: первый – построение графического образа на координатной плоскости , второй – на плоскости .

Строят образ, результат «считывают» с картинки. Конечно, полученный таким образом результат, не подкреплённый аналитическим решением, нельзя считать «строгим» решением. В случае, когда результат, «считанный с картинки» вызывает сомнение, следует подкрепить решение аналитически.

Рассмотрим несколько примеров с использованием плоскости .

Пример 3. Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения .

Решение: В системе координат строим графики и , где .

_y

y=a

₄

y=|x²-2x-3|

_{- 1 0 2 3 x}

Используя полученный рисунок, получаем результат:

1. если , уравнение корней не имеет;

2. если , уравнение имеет четыре корня;

3. если , то уравнение имеет три корня;

4. если , то уравнение имеет два корня.

4. Функционально-графический подход.

Можно рассматривать параметр как равноправную переменную, а не как фиксированное, но неизвестное число. Такой подход позволяет в максимальной степени геометризировать алгебраические задачи и свести весь поиск их решения к умению строить график уравнения с двумя переменными и на его основе исследовать решения этого уравнения и соответствующих ему неравенств.

Пример 4. Решить уравнение

Решение: В системе координат строим график уравнения и сразу считываем результат:

a =x+5 _A a=-x-5

x =a-5 ₅ x=5-a

_{-5 -5 5 x} a=x-5, x=a=5

a=-x-5

x=-5=-a

1. если , то уравнение корней не имеет;

2. если , то ;

3. если , то ;

4. если , то

5. если , то .

6. Решение неравенств с параметрами.

При решении неравенств с параметрами используются те же подходы, что и при решении уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение?

Решение: Строим график соответствующего уравнения в системе координат .

a

-3

0

x

-3

-3,25

Хотя бы одно отрицательное решение неравенство имеет если .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение: Строим график неравенства в системе .

a

a=(5+x)/2

x=2a-5

0

_{-1 1} x

a=(x-5)/2

x=2a+5

Получаем:

1. если , то решений нет;

2. если , то ;

3. если , то ;

4. если , то .

Литература

1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач./И.Ф. Шарыгин., 1991.

2. Пирютко О.Н. Формирование обобщенных приемов познавательной деятельности. /О.Н. Пирютко Народная Асвета» №9, 2008, стр. 32- 40.

3 . Азаров А.И., Булатов В.И. и др. Математика. Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию. – Мн., 2004.