3.2. Построений графиков произведения и частного функций
Если заданы графики
функций y1
= f1(x)
и y2
= f2(x),
то можно построить «по точкам» график
функции y
= y1(x)
y2(x)
или
(y
≠ 0). Заметим,
что если при сложении (вычитании) графиков
можно пользоваться циркулем для сложения
ординат, то при умножении (делении) надо
предварительно выразить отрезки
(ординаты) числами и лишь затем умножить
(разделить) эти числа с учетом их знаков.
Деление графиков можно привести к
умножению:
.
Пример 11. Построить график функции y = e–x sin x.
Строим графики
функций y
= e–x
и y
= sin
x.
Поскольку sin
x
= 0 при x
= πk
(k
Z),
график функции y
= e–x
sin
x
проходит через точки (πk;
0) (k
Z).
Кроме того, следует иметь в виду, что
при x
=
+ 2πk
(k
Z)
sin
x
= 1 и график функции y
= e–x
sin
x
касается
графика функции y
= e–x
сверху.
При x
= –
+ 2πk
(k
Z)
sin
x
= –1 и график функции y
= e–x
sin
x
касается
графика функции y
= –e–x
снизу.
Следовательно, график функции y
= e–x
sin
x
располагается между графиками функций
y
= e–x
и y
= –e–x
и
периодически (ω
= 2π)
касается их (рис. 13).
Рис. 13
Замечание . Произведение или частное двух функций лучше исследовать и строить их график по приведенной выше схеме. Иногда произведение или частное двух функций можно упростить, и построение графика упрощенной функции значительно облегчается.
Указанный метод построения графиков произведения или частного функций нерационален и используется крайне редко. Такие графики лучше всего строить с помощью методов высшей математики.
4. Построение графиков сложных функций
Рассмотрим сложную функцию y= f [φ(x)].
Здесь функция y зависит от аргумента x не непосредственно, а через промежуточную функцию φ(x). Обозначив φ(x) через u, получим y= f (u), где u = φ(x).
Часто промежуточную функцию u = φ(x) называют внутренней, а функцию y= f (u) – внешней.
Графики сложных функций можно строить, учитывая результаты общего исследования функции и используя свойства функций y = f(u) и u = φ(x). При этом надо иметь в виду, что выражение f [φ(x)] будет иметь смысл для тех значений x, для которых имеет смысл выражение φ(x), и принимать такие значения u, для которых определено выражение f (u).
При построении графиков сложных функций следует учитывать основные свойства четных и нечетных функций, периодических функций, монотонных функций. Надо также найти значения сложной функции на концах интервалов монотонности или установить, как ведет себя функция в окрестности этих точек, если они (или одна из них) не принадлежат области определения.
Приведем другой способ построения графика сложной функции y= f [φ(x)] (рис. 14). Обозначим через A, A1, A2, A3, A4 соответственно точки (x; 0), (x; φ(x)), (φ(x); φ(x)), (φ(x); f (φ(x))), (x; f (φ(x))).
Построение выполняем в таком порядке: строим графики функций y= f (x) и y = φ(x); проводим биссектрису первого и третьего координатных углов (y = x); проводим через точку A прямую, параллельную оси Оy, до пересечения с графиком функции y = φ(x) (получаем точку A1); проводим через точку A1 прямую, параллельную оси Oх, до пересечения с биссектрисой (получаем точку A2); проводим через точку A2 прямую, параллельную оси Oy, до пересечения с графиком y = f (x) (получаем точку A3); проводим через точку A3 прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с продолжением отрезка A, A1. Полученная в пересечении точка A4(x; f (φ(x))) и будет точкой графика функции y= f [φ(x)]. Аналогично строятся и остальные точки графика.
Рис. 14
Пользуясь линейкой и циркулем, можно этот способ упростить. Через точку Р(х; 0) проводим перпендикуляр до пересечения с графиком y = φ(x). Получаем точку Q, причем PQ = φ(x). Далее, на оси абсцисс берем точку T с абсциссой ОТ = PQ. Проведя через точку T перпендикуляр до пересечения с графиком y= f (x) в точке S, получим TS = f (x). Проектируя затем точку S на перпендикуляр, проведенный через точку P, получаем точку М(x; f (φ(x))) (рис. 15).
Рис. 15
Замечание. График функции y= f [φ(x)] можно построить еще и так: строим график функции u = φ(x), а затем, учитывая значения ординат этой функции и основные свойства функции y = f (u), выполняем построение графика заданной функции.