2. Построение графиков функций, выражение которых содержит знак модуля

2.1. Построение графика функции y = f( )

Для построения этого графика нужно построить график функции y = f(x) для x ≥ 0, а затем отобразить построенную кривую симметрично относительно оси ординат. Эти две части (построения и отображения) дадут в совокупности график функции y = f( ) (рис.6).

Рис. 6

Пример 6. Построить график функции у = sin |х|.

Строим график функции y = sin x для х ≥ 0, а затем этот график зеркально отображаем относительно оси Оу. Получаем график заданной функции (рис. 7).

Рис. 7

Пример 7. Построить гра­фик функции у = arcsin .

Сначала строим график функ­ции у = arcsin х для х ≥ 0. От­ображаем построенный график для х ≥ 0 симметрично относительно о оси ординат. Далее выполняем параллельный перенос вдоль оси абсцисс на единицу масштаба вправо (рис. 8).

Рис. 8

2.2. Построение графика функции y =

Для построения графика функции y = надо построить график функции y = f(x), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже ее, отобразить симметрично относительно этой оси (рис. 9).

Рис. 9

Пример 8. Построить график функции , a > 1.

Строим график функции y = log_a x. На интервале [0; 1] функция y = log_a x < 0 (кривая расположена под осью абсцисс). Эту часть графика функции y = log_a x симметрично отображаем относительно оси абсцисс, а остальную оставляем без изменения (рис. 10).

Рис. 10

2.3. Построение графика функции y =

Для построения графика функции y = надо построить график функции y = f( ), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже ее, отобразить симметрично относительно этой оси.

Пример 9. Построить график функции .

Строим график функции . Затем строим график модуля этой функции и получаем график заданной функции (рис. 11).

Рис. 11

Замечание. При построении графиков функций, являющихся суммой, произведением, частным функций или более сложной функцией, из которых одна или несколько содержат знак модуля, находят область определения функции, раскрывают знак модуля не тех промежутках, где выражения с модулем не меняют знака, и, наконец, строят график функции, заданной на разных промежутках разными формулами.

3. Построение графиков суммы, разности, произведения и частного функций

3.1. Построений графиков суммы и разности функций

Общий метод построения графиков суммы и разности двух функций заключается в том, что предварительно строят два графика для обеих функций, а затем складывают или вычитают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях x (удобно – в характерных точках). По полученным точкам строят искомых график и выполняют проверку в нескольких контрольных точках.

В отдельных случаях построение графиков суммы и разности функций можно выполнять так.

Если нужно построить график суммы двух функций, то строят вначале график одной, более простой, функции, затем к нему пристраивают график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика.

Если нужно построить график разности двух функций, то строят сначала график функции–уменьшаемого, а затем от него откладывают ординаты функции–вычитаемого, взятые с противоположным знаком. Иногда удобно начертить график функции–вычитаемого с противоположным знаком и ординаты обеих кривых (функции–уменьшаемого и функции–вычитаемого с противоположным знаком) сложить.

Пример 10. Построить график функции y = x + .

Строим графики функций–сла­гаемых y = и y = x. Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмем значения х = , 1, 2, 3, ... Скла­дывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки А, В, С, D. Со­единив их плавной линией, полу­чим одну ветвь графика функции (при х > 0). Заметив, что функция нечетная и график ее симметричен относительно начала координат, строим вторую ветвь графика за­данной функции (при х < 0) (рис. 12).

Рис. 12

Замечание. Представленный метод построения графика алгебраической суммы конечного числа функций удобно применять в более простых случаях. Если же функции–слагаемые имеют более сложную природу, то следует выполнить исследование и построение графика функции по следующей схеме:

1. область определения функции;

2. область значений функции;

3. четность и нечетность функции, периодичность;

4. характерные точки графика, монотонность выпуклость функции;

5. асимптоты графика;

6. построение графика функции.

Построение графика функции удобно выполнять параллельно с исследованием функции. Чтобы эскиз графика функции в больших по размерам интервалах ее области определения, в которых нет особенностей этой функции, был более точным, нужно взять несколько точек и вычислить значения функции в них.

А еще лучше выполнить построение алгебраической суммы функций сложной природы с помощью использованием производной.