БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ МАКСИМА ТАНКА

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект лекций. Алгебра

Разработчики:

доценты кафедры М.И.Лисова, О.Н.Пирютко,

старший преподаватель кафедры И.А.Ананич

Минск 2010

Полная и неполная индукции. Метод математической индукции

План

Введение

1. Индукция и дедукция как методы мышления. Полная и неполная индукции.

2. Метод математической индукции.

3. Применение метода математической индукции в различных разделах математики.

Введение

Элементарная математика – раздел математики, объектом изучения которого служат понятия школьного курса математики. Но поскольку школьные программы разнообразны, то само понятие элементарной математики несколько не определено и размыто. Э.м. включает в себя методы и задачи, в которых не пользуются общими понятиями переменной, предела, множества, т.е. включает такие предметы как арифметику, элементарную теорию чисел, элементарную алгебру и геометрию. Э.М. иногда характеризуют как математику постоянных величин, однако это не так, в элементарной математике рассматривают не только постоянные, но и переменные величины ( например, тригонометрические функции), но в элементарной математике речь идет, как правило, о конкретных функциях.

Общее понятие предела, кривой, поверхности, фигуры выходят за рамки элементарной математики.

1. Индукция и дедукция как методы мышления. Полная и неполная индукции.

Одной из отличительных черт математики и таких наук как теоретическая механика, физика, математическая лингвистика является дедуктивное построение теории, при котором все утверждения выводятся из нескольких основных положений, называемых аксиомами, с помощью дедукции, т.е. логического вывода (дедукция – вывод). В теории познания дедукция – метод, идущий от общих результатов – к частным выводам.

Другой метод научного мышления – индукция.

Слово «индукция» - «наведение», индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Индукцией называется всякое рассуждение, содержащее переход от частных утверждений к общим, справедливость которых вытекает из справедливости частных утверждений. Возникает такой вопрос:

Имеется утверждение, справедливое в нескольких частных случаях.

Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как узнать, справедливо ли утверждение вообще?

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Верно ли, что f(x)= x² + x + 41 – простое число для всех натуральных x ?

f(1) = 43, f(2) = 47, f(3) = 53, f(4) = 61, f(5) =71, f(7) =97,…

f(40) = 40² + 40+ 41 = 40·41 +41= 41²- составное. Вывод - из частных утверждений не следует общий вывод.

Пример 2

Верно ли, что

│a+b│≤ │a│+ │b│?

1. а и b – одного знака, тогда │a + b│=│a│+ │b│

2. а и b –разных знаков, тогда │a + b │=││a│-│b││< │a│+ │b│

3. по крайней мере, а или b равно нулю, тогда │a+ b│=│a│+ │b│.

Выполнена полная классификация, и для каждого класса неравенство доказано, следовательно, данное утверждение верно.

Пример 3

Верно ли, что 6ⁿ – 1 делится на 5 при любом натуральном n.

6¹ – 1 =5, 6² – 1 =35, 6³ – 1 =215.

Замечаем, что последняя цифра числа 6ⁿ , где n – натуральное - это 6, при вычитании 1 последняя цифра 6ⁿ – 1 - 5. По признаку делимости на 5, число 6ⁿ – 1 делится на 5 при любом натуральном n.

На основании дедуктивных рассуждений утверждение доказано.

Заключение

Пример 1 – неполная индукция и неверное утверждение, опровержение следует из контрпримера.

Пример 2- полная индукция, рассмотрены все возможности.

Пример 3 – неполная индукция, истинность доказана с помощью дедуктивных рассуждений.

Таким образом, угаданный с помощью индукции результат, подлежит дедуктивному доказательству.

В некоторых случаях, достаточно рассмотреть все возможности. Несмотря на свое название – полная индукция - этот метод, на самом деле, является не индуктивным, а дедуктивным, применяя его, опираются на общие законы логики, позволяющие расчленить общий случай на конечное число частных и рассмотреть их по отдельности.

2. Метод математической индукции.

Утверждения типа: « Для каждого натурального n…» можно доказать посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции (аксиома) :

Если утверждение A(n), в котором n – натуральное число истинно для n =1, и из того, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно для n = k +1, то оно истинно для любого натурального n.

Метод математической индукции состоит в проверке базы индукции

1.При n=1, A(1) – верно.

2. Индуктивный переход или шаг индукции: если верно утверждение с номером k, то верно утверждение с номером n, A(k) A(k+1).

3. Вывод.

Замечание 1

Иногда удобен индуктивный спуск: если утверждение с номером n, n>1 можно свести к одному или нескольким утверждениям с меньшими номерами, то утверждение верно для всех n.

Замечание 2

Иногда для доказательства следующего утверждения надо опираться на все предыдущие утверждения, тогда индуктивный переход звучит так:

« Если верны все утверждения с номерами от 1 до n, то верно утверждение с номером ( n+1)».

Алгоритм применения метода математической индукции:

1.Выделить в условии задачи утверждение A(n);

2.Сформулировать утверждение A(1) и проверить его истинность.

3. Записать утверждение A(k) и A(k+1).

4. Показать следование A(k) A(k+1).

5. Сделать вывод.

Пример1

Докажите, что

1³ + 2³ +…+ n³ = (n (n+1)/2)², n

1. Утверждение A(n): сумма кубов n чисел вычисляется по формуле (n(n+1)/2)².

2. «Сумма» куба одного слагаемого вычисляется по формуле (1 ·(1+1)/2)².

Это утверждение верно, так как 1³ = (1 ·(1+1)/2)² , 1=1.

3. Предположим, что A(k): 1³ + 2³ +…+ k³ = (k(k+1)/2)² верно, покажем, что

A(k+1): 1³ + 2³ +…+ k³ + (k+1)³ = ((k+1)(k+2)/2)² тоже верно.

4. Обозначим 1³ + 2³ +…+ k³ = S_k, тогда 1³ + 2³ +…+ k³ + (k+1)³ =

S_k + (k+1)³ =

( k(k+1)/2)² +(k+1)³ = (k+1)² ( k²/4 +k +1) = ((k+1)(k+2)/2)² – верно.

5. На основании принципа математической индукции утверждение

1³ + 2³ +…+ n³ = (n(n+1)/2)² верно для любого натурального n.

Пример 2 .(Самостоятельно)

Докажите, что

1·2 + 2·3 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3, n .